Cubic critical, narrow range

Average Error: 44.51% → 0.86%

Time: 20.7s

Precision: binary64

Cost: 14016

\[\left(\left(1.0536712127723509 \cdot 10^{-8} < a \land a < 94906265.62425156\right) \land \left(1.0536712127723509 \cdot 10^{-8} < b \land b < 94906265.62425156\right)\right) \land \left(1.0536712127723509 \cdot 10^{-8} < c \land c < 94906265.62425156\right)\]

Math

\[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]

↓

\[\frac{\frac{-0.3333333333333333}{a}}{\left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \frac{0.3333333333333333}{a \cdot c}} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3.0 a) c)))) (* 3.0 a)))

↓

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/
  (/ -0.3333333333333333 a)
  (* (+ b (sqrt (fma a (* c -3.0) (* b b)))) (/ 0.3333333333333333 (* a c)))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
}

↓

double code(double a, double b, double c) {
	return (-0.3333333333333333 / a) / ((b + sqrt(fma(a, (c * -3.0), (b * b)))) * (0.3333333333333333 / (a * c)));
}

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(-b) + sqrt(Float64(Float64(b * b) - Float64(Float64(3.0 * a) * c)))) / Float64(3.0 * a))
end

↓

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(-0.3333333333333333 / a) / Float64(Float64(b + sqrt(fma(a, Float64(c * -3.0), Float64(b * b)))) * Float64(0.3333333333333333 / Float64(a * c))))
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[((-b) + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(N[(3.0 * a), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(3.0 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[a_, b_, c_] := N[(N[(-0.3333333333333333 / a), $MachinePrecision] / N[(N[(b + N[Sqrt[N[(a * N[(c * -3.0), $MachinePrecision] + N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.3333333333333333 / N[(a * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 44.51

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]

2. Simplified 44.52

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{b - \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}{a} \cdot -0.3333333333333333} \]
   Proof

   [Start] 44.51	\[ \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
   *-lft-identity [<=] 44.51	\[ \color{blue}{1 \cdot \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}} \]
   metadata-eval [<=] 44.51	\[ \color{blue}{\frac{-1}{-1}} \cdot \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
   times-frac [<=] 44.51	\[ \color{blue}{\frac{-1 \cdot \left(\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right)}{-1 \cdot \left(3 \cdot a\right)}} \]
   neg-mul-1 [<=] 44.51	\[ \frac{-1 \cdot \left(\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right)}{\color{blue}{-3 \cdot a}} \]
   distribute-rgt-neg-in [=>] 44.51	\[ \frac{-1 \cdot \left(\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right)}{\color{blue}{3 \cdot \left(-a\right)}} \]
   times-frac [=>] 44.52	\[ \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{-a}} \]
   *-commutative [=>] 44.52	\[ \color{blue}{\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{-a} \cdot \frac{-1}{3}} \]

3. Applied egg-rr 43.24

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\left({b}^{4} - {\left(\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}}{b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}}{a} \cdot -0.3333333333333333 \]

4. Taylor expanded in b around 0 1.21

   \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(6 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot {b}^{2}\right)\right) + -9 \cdot \left({c}^{2} \cdot {a}^{2}\right)\right)} \cdot \frac{1}{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}}{b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}{a} \cdot -0.3333333333333333 \]

5. Applied egg-rr 1.13

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.3333333333333333}{a \cdot \left(\left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(b, b, \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(6, c \cdot \left(a \cdot \left(b \cdot b\right)\right), {\left(c \cdot a\right)}^{2} \cdot -9\right)}\right)}} \]

6. Simplified 1.12

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.3333333333333333}{a}}{\left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(b, b, \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(6, a \cdot \left(c \cdot \left(b \cdot b\right)\right), {\left(c \cdot a\right)}^{2} \cdot -9\right)}}} \]
   Proof

   [Start] 1.13	\[ \frac{-0.3333333333333333}{a \cdot \left(\left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(b, b, \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(6, c \cdot \left(a \cdot \left(b \cdot b\right)\right), {\left(c \cdot a\right)}^{2} \cdot -9\right)}\right)} \]
   associate-/r* [=>] 1.12	\[ \color{blue}{\frac{\frac{-0.3333333333333333}{a}}{\left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(b, b, \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(6, c \cdot \left(a \cdot \left(b \cdot b\right)\right), {\left(c \cdot a\right)}^{2} \cdot -9\right)}}} \]
   associate-*r* [=>] 1.12	\[ \frac{\frac{-0.3333333333333333}{a}}{\left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(b, b, \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(6, \color{blue}{\left(c \cdot a\right) \cdot \left(b \cdot b\right)}, {\left(c \cdot a\right)}^{2} \cdot -9\right)}} \]
   *-commutative [=>] 1.12	\[ \frac{\frac{-0.3333333333333333}{a}}{\left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(b, b, \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(6, \color{blue}{\left(a \cdot c\right)} \cdot \left(b \cdot b\right), {\left(c \cdot a\right)}^{2} \cdot -9\right)}} \]
   unpow2 [<=] 1.12	\[ \frac{\frac{-0.3333333333333333}{a}}{\left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(b, b, \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(6, \left(a \cdot c\right) \cdot \color{blue}{{b}^{2}}, {\left(c \cdot a\right)}^{2} \cdot -9\right)}} \]
   associate-*l* [=>] 1.12	\[ \frac{\frac{-0.3333333333333333}{a}}{\left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(b, b, \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(6, \color{blue}{a \cdot \left(c \cdot {b}^{2}\right)}, {\left(c \cdot a\right)}^{2} \cdot -9\right)}} \]
   unpow2 [=>] 1.12	\[ \frac{\frac{-0.3333333333333333}{a}}{\left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(b, b, \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(6, a \cdot \left(c \cdot \color{blue}{\left(b \cdot b\right)}\right), {\left(c \cdot a\right)}^{2} \cdot -9\right)}} \]

7. Taylor expanded in b around 0 0.86

   \[\leadsto \frac{\frac{-0.3333333333333333}{a}}{\left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{c \cdot a}}} \]

8. Final simplification 0.86

   \[\leadsto \frac{\frac{-0.3333333333333333}{a}}{\left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \frac{0.3333333333333333}{a \cdot c}} \]

Alternatives

Alternative 1
Error	15.42%
Cost	13764

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq 0.11:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{b - \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}{a}}{-3}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{-0.3333333333333333}{a}}{\frac{1}{b} + \mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \frac{b}{a \cdot c}, \frac{0.16666666666666666 \cdot \left(\left(a \cdot b\right) \cdot -9\right)}{a \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)}\\ \end{array} \]

Alternative 2
Error	15.43%
Cost	13764

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq 0.108:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{b - \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, a \cdot -3, b \cdot b\right)}}{-3}}{a}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{-0.3333333333333333}{a}}{\frac{1}{b} + \mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \frac{b}{a \cdot c}, \frac{0.16666666666666666 \cdot \left(\left(a \cdot b\right) \cdot -9\right)}{a \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)}\\ \end{array} \]

Alternative 3
Error	15.42%
Cost	8260

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq 0.11:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{a \cdot 3}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{-0.3333333333333333}{a}}{\frac{1}{b} + \mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \frac{b}{a \cdot c}, \frac{0.16666666666666666 \cdot \left(\left(a \cdot b\right) \cdot -9\right)}{a \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)}\\ \end{array} \]

Alternative 4
Error	15.46%
Cost	7492

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq 0.108:\\ \;\;\;\;\frac{-0.3333333333333333}{a} \cdot \left(b - \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{-0.3333333333333333}{a}}{0.16666666666666666 \cdot \frac{\left(a \cdot c\right) \cdot -6 + -3 \cdot \left(a \cdot c\right)}{c \cdot \left(a \cdot b\right)} + \left(\frac{1}{b} + 0.6666666666666666 \cdot \frac{b}{a \cdot c}\right)}\\ \end{array} \]

Alternative 5
Error	15.46%
Cost	7492

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq 0.108:\\ \;\;\;\;\frac{-0.3333333333333333 \cdot \left(b - \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)}{a}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{-0.3333333333333333}{a}}{0.16666666666666666 \cdot \frac{\left(a \cdot c\right) \cdot -6 + -3 \cdot \left(a \cdot c\right)}{c \cdot \left(a \cdot b\right)} + \left(\frac{1}{b} + 0.6666666666666666 \cdot \frac{b}{a \cdot c}\right)}\\ \end{array} \]

Alternative 6
Error	15.45%
Cost	7492

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq 0.11:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{a \cdot 3}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{-0.3333333333333333}{a}}{0.16666666666666666 \cdot \frac{\left(a \cdot c\right) \cdot -6 + -3 \cdot \left(a \cdot c\right)}{c \cdot \left(a \cdot b\right)} + \left(\frac{1}{b} + 0.6666666666666666 \cdot \frac{b}{a \cdot c}\right)}\\ \end{array} \]

Alternative 7
Error	18.38%
Cost	2240

\[\frac{\frac{-0.3333333333333333}{a}}{0.16666666666666666 \cdot \frac{\left(a \cdot c\right) \cdot -6 + -3 \cdot \left(a \cdot c\right)}{c \cdot \left(a \cdot b\right)} + \left(\frac{1}{b} + 0.6666666666666666 \cdot \frac{b}{a \cdot c}\right)} \]

Alternative 8
Error	35.77%
Cost	320

\[-0.5 \cdot \frac{c}{b} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023089 
(FPCore (a b c)
  :name "Cubic critical, narrow range"
  :precision binary64
  :pre (and (and (and (< 1.0536712127723509e-8 a) (< a 94906265.62425156)) (and (< 1.0536712127723509e-8 b) (< b 94906265.62425156))) (and (< 1.0536712127723509e-8 c) (< c 94906265.62425156)))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3.0 a) c)))) (* 3.0 a)))