Octave 3.8, oct_fill_randg

Average Error: 0.21% → 0.2%

Time: 10.7s

Precision: binary64

Cost: 7232

Math

\[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

↓

\[\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\frac{rand}{\sqrt{a + -0.3333333333333333}}}{3}\right) \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (*
  (- a (/ 1.0 3.0))
  (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))

↓

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (*
  (+ a -0.3333333333333333)
  (+ 1.0 (/ (/ rand (sqrt (+ a -0.3333333333333333))) 3.0))))

C

double code(double a, double rand) {
	return (a - (1.0 / 3.0)) * (1.0 + ((1.0 / sqrt((9.0 * (a - (1.0 / 3.0))))) * rand));
}

↓

double code(double a, double rand) {
	return (a + -0.3333333333333333) * (1.0 + ((rand / sqrt((a + -0.3333333333333333))) / 3.0));
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    code = (a - (1.0d0 / 3.0d0)) * (1.0d0 + ((1.0d0 / sqrt((9.0d0 * (a - (1.0d0 / 3.0d0))))) * rand))
end function

↓

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    code = (a + (-0.3333333333333333d0)) * (1.0d0 + ((rand / sqrt((a + (-0.3333333333333333d0)))) / 3.0d0))
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	return (a - (1.0 / 3.0)) * (1.0 + ((1.0 / Math.sqrt((9.0 * (a - (1.0 / 3.0))))) * rand));
}

↓

public static double code(double a, double rand) {
	return (a + -0.3333333333333333) * (1.0 + ((rand / Math.sqrt((a + -0.3333333333333333))) / 3.0));
}

Python

def code(a, rand):
	return (a - (1.0 / 3.0)) * (1.0 + ((1.0 / math.sqrt((9.0 * (a - (1.0 / 3.0))))) * rand))

↓

def code(a, rand):
	return (a + -0.3333333333333333) * (1.0 + ((rand / math.sqrt((a + -0.3333333333333333))) / 3.0))

Julia

function code(a, rand)
	return Float64(Float64(a - Float64(1.0 / 3.0)) * Float64(1.0 + Float64(Float64(1.0 / sqrt(Float64(9.0 * Float64(a - Float64(1.0 / 3.0))))) * rand)))
end

↓

function code(a, rand)
	return Float64(Float64(a + -0.3333333333333333) * Float64(1.0 + Float64(Float64(rand / sqrt(Float64(a + -0.3333333333333333))) / 3.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(a, rand)
	tmp = (a - (1.0 / 3.0)) * (1.0 + ((1.0 / sqrt((9.0 * (a - (1.0 / 3.0))))) * rand));
end

↓

function tmp = code(a, rand)
	tmp = (a + -0.3333333333333333) * (1.0 + ((rand / sqrt((a + -0.3333333333333333))) / 3.0));
end

Wolfram

code[a_, rand_] := N[(N[(a - N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(1.0 / N[Sqrt[N[(9.0 * N[(a - N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * rand), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[a_, rand_] := N[(N[(a + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(rand / N[Sqrt[N[(a + -0.3333333333333333), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 0.21

   \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

2. Simplified 0.21

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]
   Proof

   [Start] 0.21	\[ \left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   cancel-sign-sub [<=] 0.21	\[ \left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \color{blue}{\left(1 - \left(-\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}\right) \cdot rand\right)} \]
   distribute-lft-neg-in [<=] 0.21	\[ \left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\left(-\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)}\right) \]
   sub-neg [=>] 0.21	\[ \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 - \left(-\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)\right) \]
   metadata-eval [=>] 0.21	\[ \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 - \left(-\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)\right) \]
   metadata-eval [=>] 0.21	\[ \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 - \left(-\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)\right) \]
   sub-neg [=>] 0.21	\[ \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(-\left(-\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)\right)\right)} \]
   remove-double-neg [=>] 0.21	\[ \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand}\right) \]
   /-rgt-identity [<=] 0.21	\[ \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\color{blue}{\frac{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}{1}}} \cdot rand\right) \]

3. Applied egg-rr 0.2

   \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{\frac{rand}{\sqrt{a + -0.3333333333333333}}}{3}}\right) \]

4. Final simplification 0.2

   \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\frac{rand}{\sqrt{a + -0.3333333333333333}}}{3}\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.19%
Cost	7232

\[\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{a \cdot 9 + -3}}\right) \]

Alternative 2
Error	9.03%
Cost	7112

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -6.2 \cdot 10^{+72}:\\ \;\;\;\;rand \cdot \sqrt{a \cdot 0.1111111111111111}\\ \mathbf{elif}\;rand \leq 1.22 \cdot 10^{+114}:\\ \;\;\;\;a + -0.3333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a + -0.3333333333333333}\right)\\ \end{array} \]

Alternative 3
Error	8.98%
Cost	7112

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -1.7 \cdot 10^{+76}:\\ \;\;\;\;rand \cdot \sqrt{a \cdot 0.1111111111111111}\\ \mathbf{elif}\;rand \leq 1.22 \cdot 10^{+114}:\\ \;\;\;\;a + -0.3333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;rand \cdot \sqrt{a \cdot 0.1111111111111111 + -0.037037037037037035}\\ \end{array} \]

Alternative 4
Error	1.32%
Cost	7104

\[\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{a \cdot 9}}\right) \]

Alternative 5
Error	0.31%
Cost	7104

\[-0.3333333333333333 + \left(a + 0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a + -0.3333333333333333}\right)\right) \]

Alternative 6
Error	9.46%
Cost	6985

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -3.4 \cdot 10^{+75} \lor \neg \left(rand \leq 1.22 \cdot 10^{+114}\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;a + -0.3333333333333333\\ \end{array} \]

Alternative 7
Error	9.29%
Cost	6985

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -2 \cdot 10^{+75} \lor \neg \left(rand \leq 1.22 \cdot 10^{+114}\right):\\ \;\;\;\;rand \cdot \sqrt{a \cdot 0.1111111111111111}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;a + -0.3333333333333333\\ \end{array} \]

Alternative 8
Error	9.29%
Cost	6984

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -9 \cdot 10^{+73}:\\ \;\;\;\;rand \cdot \sqrt{a \cdot 0.1111111111111111}\\ \mathbf{elif}\;rand \leq 1.22 \cdot 10^{+114}:\\ \;\;\;\;a + -0.3333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;rand \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a}\right)\\ \end{array} \]

Alternative 9
Error	2.53%
Cost	6976

\[a \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{a \cdot 9}}\right) \]

Alternative 10
Error	1.44%
Cost	6976

\[-0.3333333333333333 + \left(a + 0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a}\right)\right) \]

Alternative 11
Error	28.4%
Cost	192

\[a + -0.3333333333333333 \]

Alternative 12
Error	98.5%
Cost	64

\[-0.3333333333333333 \]

Alternative 13
Error	29.59%
Cost	64

\[a \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023089 
(FPCore (a rand)
  :name "Octave 3.8, oct_fill_randg"
  :precision binary64
  (* (- a (/ 1.0 3.0)) (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))