Hyperbolic tangent

Average Error: 58.2 → 1.9

Time: 9.2s

Precision: binary64

Cost: 20224

Math

\[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

↓

\[\left(x + {x}^{3} \cdot -0.3333333333333333\right) + \left({x}^{5} \cdot 0.13333333333333333 + {x}^{7} \cdot -0.05396825396825397\right) \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (- (exp x) (exp (- x))) (+ (exp x) (exp (- x)))))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (+ x (* (pow x 3.0) -0.3333333333333333))
  (+
   (* (pow x 5.0) 0.13333333333333333)
   (* (pow x 7.0) -0.05396825396825397))))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - exp(-x)) / (exp(x) + exp(-x));
}

↓

double code(double x) {
	return (x + (pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333)) + ((pow(x, 5.0) * 0.13333333333333333) + (pow(x, 7.0) * -0.05396825396825397));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (exp(x) - exp(-x)) / (exp(x) + exp(-x))
end function

↓

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x + ((x ** 3.0d0) * (-0.3333333333333333d0))) + (((x ** 5.0d0) * 0.13333333333333333d0) + ((x ** 7.0d0) * (-0.05396825396825397d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp(x) - Math.exp(-x)) / (Math.exp(x) + Math.exp(-x));
}

↓

public static double code(double x) {
	return (x + (Math.pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333)) + ((Math.pow(x, 5.0) * 0.13333333333333333) + (Math.pow(x, 7.0) * -0.05396825396825397));
}

Python

def code(x):
	return (math.exp(x) - math.exp(-x)) / (math.exp(x) + math.exp(-x))

↓

def code(x):
	return (x + (math.pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333)) + ((math.pow(x, 5.0) * 0.13333333333333333) + (math.pow(x, 7.0) * -0.05396825396825397))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - exp(Float64(-x))) / Float64(exp(x) + exp(Float64(-x))))
end

↓

function code(x)
	return Float64(Float64(x + Float64((x ^ 3.0) * -0.3333333333333333)) + Float64(Float64((x ^ 5.0) * 0.13333333333333333) + Float64((x ^ 7.0) * -0.05396825396825397)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp(x) - exp(-x)) / (exp(x) + exp(-x));
end

↓

function tmp = code(x)
	tmp = (x + ((x ^ 3.0) * -0.3333333333333333)) + (((x ^ 5.0) * 0.13333333333333333) + ((x ^ 7.0) * -0.05396825396825397));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[x_] := N[(N[(x + N[(N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision] * 0.13333333333333333), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 7.0], $MachinePrecision] * -0.05396825396825397), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 58.2

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 1.9

   \[\leadsto \color{blue}{-0.05396825396825397 \cdot {x}^{7} + \left(-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{5} + x\right)\right)} \]

3. Simplified 1.9

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x + {x}^{3} \cdot -0.3333333333333333\right) + \left({x}^{5} \cdot 0.13333333333333333 + {x}^{7} \cdot -0.05396825396825397\right)} \]
   Proof

   [Start] 1.9	\[ -0.05396825396825397 \cdot {x}^{7} + \left(-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{5} + x\right)\right) \]
   rational_best.json-simplify-1 [=>] 1.9	\[ -0.05396825396825397 \cdot {x}^{7} + \left(-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \color{blue}{\left(x + 0.13333333333333333 \cdot {x}^{5}\right)}\right) \]
   rational_best.json-simplify-43 [=>] 1.9	\[ -0.05396825396825397 \cdot {x}^{7} + \color{blue}{\left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{5} + \left(x + -0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right)\right)} \]
   rational_best.json-simplify-1 [<=] 1.9	\[ -0.05396825396825397 \cdot {x}^{7} + \left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{5} + \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + x\right)}\right) \]
   rational_best.json-simplify-43 [=>] 1.9	\[ \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + x\right) + \left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{5} + -0.05396825396825397 \cdot {x}^{7}\right)} \]
   rational_best.json-simplify-1 [=>] 1.9	\[ \color{blue}{\left(x + -0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right)} + \left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{5} + -0.05396825396825397 \cdot {x}^{7}\right) \]
   rational_best.json-simplify-2 [=>] 1.9	\[ \left(x + \color{blue}{{x}^{3} \cdot -0.3333333333333333}\right) + \left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{5} + -0.05396825396825397 \cdot {x}^{7}\right) \]
   rational_best.json-simplify-2 [=>] 1.9	\[ \left(x + {x}^{3} \cdot -0.3333333333333333\right) + \left(\color{blue}{{x}^{5} \cdot 0.13333333333333333} + -0.05396825396825397 \cdot {x}^{7}\right) \]
   rational_best.json-simplify-2 [=>] 1.9	\[ \left(x + {x}^{3} \cdot -0.3333333333333333\right) + \left({x}^{5} \cdot 0.13333333333333333 + \color{blue}{{x}^{7} \cdot -0.05396825396825397}\right) \]

4. Final simplification 1.9

   \[\leadsto \left(x + {x}^{3} \cdot -0.3333333333333333\right) + \left({x}^{5} \cdot 0.13333333333333333 + {x}^{7} \cdot -0.05396825396825397\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Error	1.8
Cost	13504

\[\left(x + {x}^{3} \cdot -0.3333333333333333\right) + {x}^{5} \cdot 0.13333333333333333 \]

Alternative 2
Error	2.0
Cost	6784

\[-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + x \]

Alternative 3
Error	2.2
Cost	64

\[x \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023088 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic tangent"
  :precision binary64
  (/ (- (exp x) (exp (- x))) (+ (exp x) (exp (- x)))))