Kahan's exp quotient

Average Error: 39.7 → 0.3

Time: 7.1s

Precision: binary64

Cost: 7172

Math

\[\frac{e^{x} - 1}{x} \]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.00017:\\ \;\;\;\;\frac{e^{x} - 1}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + x \cdot 0.5\right) + {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- (exp x) 1.0) x))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x -0.00017)
   (/ (- (exp x) 1.0) x)
   (+ (+ 1.0 (* x 0.5)) (* (pow x 2.0) 0.16666666666666666))))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - 1.0) / x;
}

↓

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -0.00017) {
		tmp = (exp(x) - 1.0) / x;
	} else {
		tmp = (1.0 + (x * 0.5)) + (pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (exp(x) - 1.0d0) / x
end function

↓

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= (-0.00017d0)) then
        tmp = (exp(x) - 1.0d0) / x
    else
        tmp = (1.0d0 + (x * 0.5d0)) + ((x ** 2.0d0) * 0.16666666666666666d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp(x) - 1.0) / x;
}

↓

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -0.00017) {
		tmp = (Math.exp(x) - 1.0) / x;
	} else {
		tmp = (1.0 + (x * 0.5)) + (Math.pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	return (math.exp(x) - 1.0) / x

↓

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= -0.00017:
		tmp = (math.exp(x) - 1.0) / x
	else:
		tmp = (1.0 + (x * 0.5)) + (math.pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666)
	return tmp

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - 1.0) / x)
end

↓

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= -0.00017)
		tmp = Float64(Float64(exp(x) - 1.0) / x);
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(x * 0.5)) + Float64((x ^ 2.0) * 0.16666666666666666));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp(x) - 1.0) / x;
end

↓

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= -0.00017)
		tmp = (exp(x) - 1.0) / x;
	else
		tmp = (1.0 + (x * 0.5)) + ((x ^ 2.0) * 0.16666666666666666);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - 1.0), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]

↓

code[x_] := If[LessEqual[x, -0.00017], N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - 1.0), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 + N[(x * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Target

Original	39.7
Target	40.1
Herbie	0.3

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x < 1 \land x > -1:\\ \;\;\;\;\frac{e^{x} - 1}{\log \left(e^{x}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{e^{x} - 1}{x}\\ \end{array} \]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -1.7e-4

   1. Initial program 0.1

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]

   if -1.7e-4 < x

   1. Initial program 60.3

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 0.4

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot x + \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + 1\right)} \]

   3. Simplified 0.4

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + x \cdot 0.5\right) + {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} \]
      Proof

      [Start] 0.4	\[ 0.5 \cdot x + \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + 1\right) \]
      rational_best.json-simplify-1 [=>] 0.4	\[ 0.5 \cdot x + \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]
      rational_best.json-simplify-43 [=>] 0.4	\[ \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(1 + 0.5 \cdot x\right)} \]
      rational_best.json-simplify-1 [<=] 0.4	\[ 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\left(0.5 \cdot x + 1\right)} \]
      rational_best.json-simplify-1 [=>] 0.4	\[ \color{blue}{\left(0.5 \cdot x + 1\right) + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
      rational_best.json-simplify-1 [=>] 0.4	\[ \color{blue}{\left(1 + 0.5 \cdot x\right)} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]
      rational_best.json-simplify-2 [=>] 0.4	\[ \left(1 + \color{blue}{x \cdot 0.5}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]
      rational_best.json-simplify-2 [=>] 0.4	\[ \left(1 + x \cdot 0.5\right) + \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} \]

3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 0.3

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.00017:\\ \;\;\;\;\frac{e^{x} - 1}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + x \cdot 0.5\right) + {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\\ \end{array} \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.4
Cost	6852

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -3.5 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\frac{e^{x} - 1}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot x + 1\\ \end{array} \]

Alternative 2
Error	21.3
Cost	64

\[1 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023088 
(FPCore (x)
  :name "Kahan's exp quotient"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (and (< x 1.0) (> x -1.0)) (/ (- (exp x) 1.0) (log (exp x))) (/ (- (exp x) 1.0) x))

  (/ (- (exp x) 1.0) x))