FastMath test2

Average Error: 0.29% → 0.02%

Time: 3.9s

Precision: binary64

Cost: 6720

Math

\[\left(d1 \cdot 10 + d1 \cdot d2\right) + d1 \cdot 20 \]

↓

\[\mathsf{fma}\left(d1, 30, d1 \cdot d2\right) \]

FPCore

(FPCore (d1 d2) :precision binary64 (+ (+ (* d1 10.0) (* d1 d2)) (* d1 20.0)))

↓

(FPCore (d1 d2) :precision binary64 (fma d1 30.0 (* d1 d2)))

C

double code(double d1, double d2) {
	return ((d1 * 10.0) + (d1 * d2)) + (d1 * 20.0);
}

↓

double code(double d1, double d2) {
	return fma(d1, 30.0, (d1 * d2));
}

Julia

function code(d1, d2)
	return Float64(Float64(Float64(d1 * 10.0) + Float64(d1 * d2)) + Float64(d1 * 20.0))
end

↓

function code(d1, d2)
	return fma(d1, 30.0, Float64(d1 * d2))
end

Wolfram

code[d1_, d2_] := N[(N[(N[(d1 * 10.0), $MachinePrecision] + N[(d1 * d2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(d1 * 20.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[d1_, d2_] := N[(d1 * 30.0 + N[(d1 * d2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Target

Original	0.29%
Target	0.04%
Herbie	0.02%

\[d1 \cdot \left(30 + d2\right) \]

Derivation

1. Initial program 0.29

   \[\left(d1 \cdot 10 + d1 \cdot d2\right) + d1 \cdot 20 \]

2. Simplified 0.04

   \[\leadsto \color{blue}{d1 \cdot \left(d2 + 30\right)} \]
   Proof

   [Start] 0.29	\[ \left(d1 \cdot 10 + d1 \cdot d2\right) + d1 \cdot 20 \]
   distribute-lft-out [=>] 0.28	\[ \color{blue}{d1 \cdot \left(10 + d2\right)} + d1 \cdot 20 \]
   distribute-lft-out [=>] 0.04	\[ \color{blue}{d1 \cdot \left(\left(10 + d2\right) + 20\right)} \]
   +-commutative [=>] 0.04	\[ d1 \cdot \left(\color{blue}{\left(d2 + 10\right)} + 20\right) \]
   associate-+l+ [=>] 0.04	\[ d1 \cdot \color{blue}{\left(d2 + \left(10 + 20\right)\right)} \]
   metadata-eval [=>] 0.04	\[ d1 \cdot \left(d2 + \color{blue}{30}\right) \]

3. Taylor expanded in d2 around 0 0.05

   \[\leadsto \color{blue}{d2 \cdot d1 + 30 \cdot d1} \]

4. Applied egg-rr 0.02

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(d1, 30, d2 \cdot d1\right)} \]

5. Final simplification 0.02

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(d1, 30, d1 \cdot d2\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Error	2.34%
Cost	456

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;d2 \leq -30:\\ \;\;\;\;d1 \cdot d2\\ \mathbf{elif}\;d2 \leq 30:\\ \;\;\;\;d1 \cdot 30\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot d2\\ \end{array} \]

Alternative 2
Error	0.04%
Cost	320

\[d1 \cdot \left(30 + d2\right) \]

Alternative 3
Error	41.95%
Cost	192

\[d1 \cdot 30 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023088 
(FPCore (d1 d2)
  :name "FastMath test2"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (* d1 (+ 30.0 d2))

  (+ (+ (* d1 10.0) (* d1 d2)) (* d1 20.0)))