Octave 3.8, oct_fill_randg

Average Error: 0.22% → 0.17%

Time: 13.2s

Precision: binary64

Cost: 7360

Math

\[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

↓

\[\left(a + -0.3333333333333333\right) + rand \cdot \frac{a + -0.3333333333333333}{\sqrt{a \cdot 9 + -3}} \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (*
  (- a (/ 1.0 3.0))
  (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))

↓

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (+
  (+ a -0.3333333333333333)
  (* rand (/ (+ a -0.3333333333333333) (sqrt (+ (* a 9.0) -3.0))))))

C

double code(double a, double rand) {
	return (a - (1.0 / 3.0)) * (1.0 + ((1.0 / sqrt((9.0 * (a - (1.0 / 3.0))))) * rand));
}

↓

double code(double a, double rand) {
	return (a + -0.3333333333333333) + (rand * ((a + -0.3333333333333333) / sqrt(((a * 9.0) + -3.0))));
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    code = (a - (1.0d0 / 3.0d0)) * (1.0d0 + ((1.0d0 / sqrt((9.0d0 * (a - (1.0d0 / 3.0d0))))) * rand))
end function

↓

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    code = (a + (-0.3333333333333333d0)) + (rand * ((a + (-0.3333333333333333d0)) / sqrt(((a * 9.0d0) + (-3.0d0)))))
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	return (a - (1.0 / 3.0)) * (1.0 + ((1.0 / Math.sqrt((9.0 * (a - (1.0 / 3.0))))) * rand));
}

↓

public static double code(double a, double rand) {
	return (a + -0.3333333333333333) + (rand * ((a + -0.3333333333333333) / Math.sqrt(((a * 9.0) + -3.0))));
}

Python

def code(a, rand):
	return (a - (1.0 / 3.0)) * (1.0 + ((1.0 / math.sqrt((9.0 * (a - (1.0 / 3.0))))) * rand))

↓

def code(a, rand):
	return (a + -0.3333333333333333) + (rand * ((a + -0.3333333333333333) / math.sqrt(((a * 9.0) + -3.0))))

Julia

function code(a, rand)
	return Float64(Float64(a - Float64(1.0 / 3.0)) * Float64(1.0 + Float64(Float64(1.0 / sqrt(Float64(9.0 * Float64(a - Float64(1.0 / 3.0))))) * rand)))
end

↓

function code(a, rand)
	return Float64(Float64(a + -0.3333333333333333) + Float64(rand * Float64(Float64(a + -0.3333333333333333) / sqrt(Float64(Float64(a * 9.0) + -3.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, rand)
	tmp = (a - (1.0 / 3.0)) * (1.0 + ((1.0 / sqrt((9.0 * (a - (1.0 / 3.0))))) * rand));
end

↓

function tmp = code(a, rand)
	tmp = (a + -0.3333333333333333) + (rand * ((a + -0.3333333333333333) / sqrt(((a * 9.0) + -3.0))));
end

Wolfram

code[a_, rand_] := N[(N[(a - N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(1.0 / N[Sqrt[N[(9.0 * N[(a - N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * rand), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[a_, rand_] := N[(N[(a + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] + N[(rand * N[(N[(a + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(a * 9.0), $MachinePrecision] + -3.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 0.22

   \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

2. Simplified 0.19

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + -3}}\right)} \]
   Proof

   [Start] 0.22	\[ \left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   *-lft-identity [<=] 0.22	\[ \color{blue}{\left(1 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   *-lft-identity [=>] 0.22	\[ \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   sub-neg [=>] 0.22	\[ \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   metadata-eval [=>] 0.22	\[ \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   metadata-eval [=>] 0.22	\[ \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   cancel-sign-sub [<=] 0.22	\[ \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \color{blue}{\left(1 - \left(-\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}\right) \cdot rand\right)} \]
   distribute-lft-neg-in [<=] 0.22	\[ \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\left(-\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)}\right) \]
   sub-neg [=>] 0.22	\[ \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(-\left(-\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)\right)\right)} \]
   remove-double-neg [=>] 0.22	\[ \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand}\right) \]
   associate-*l/ [=>] 0.18	\[ \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1 \cdot rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]
   *-lft-identity [=>] 0.18	\[ \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{rand}}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}\right) \]
   sub-neg [=>] 0.18	\[ \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}}\right) \]
   distribute-lft-in [=>] 0.19	\[ \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}}\right) \]
   metadata-eval [=>] 0.19	\[ \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)}}\right) \]
   metadata-eval [=>] 0.19	\[ \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + 9 \cdot \color{blue}{-0.3333333333333333}}}\right) \]
   metadata-eval [=>] 0.19	\[ \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + \color{blue}{-3}}}\right) \]

3. Applied egg-rr 14.93

   \[\leadsto \color{blue}{a + \left(-0.3333333333333333 + \frac{rand \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(9, a, -3\right)}}\right)} \]

4. Simplified 0.17

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) + rand \cdot \frac{a + -0.3333333333333333}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}} \]
   Proof

   [Start] 14.93	\[ a + \left(-0.3333333333333333 + \frac{rand \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(9, a, -3\right)}}\right) \]
   associate-+r+ [=>] 14.93	\[ \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) + \frac{rand \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(9, a, -3\right)}}} \]
   *-lft-identity [<=] 14.93	\[ \left(a + -0.3333333333333333\right) + \frac{rand \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)}{\color{blue}{1 \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(9, a, -3\right)}}} \]
   times-frac [=>] 0.17	\[ \left(a + -0.3333333333333333\right) + \color{blue}{\frac{rand}{1} \cdot \frac{a + -0.3333333333333333}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(9, a, -3\right)}}} \]
   /-rgt-identity [=>] 0.17	\[ \left(a + -0.3333333333333333\right) + \color{blue}{rand} \cdot \frac{a + -0.3333333333333333}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(9, a, -3\right)}} \]
   fma-udef [=>] 0.17	\[ \left(a + -0.3333333333333333\right) + rand \cdot \frac{a + -0.3333333333333333}{\sqrt{\color{blue}{9 \cdot a + -3}}} \]
   *-commutative [=>] 0.17	\[ \left(a + -0.3333333333333333\right) + rand \cdot \frac{a + -0.3333333333333333}{\sqrt{\color{blue}{a \cdot 9} + -3}} \]
   fma-udef [<=] 0.17	\[ \left(a + -0.3333333333333333\right) + rand \cdot \frac{a + -0.3333333333333333}{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}} \]

5. Taylor expanded in a around 0 0.17

   \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) + rand \cdot \frac{a + -0.3333333333333333}{\sqrt{\color{blue}{9 \cdot a - 3}}} \]

6. Final simplification 0.17

   \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) + rand \cdot \frac{a + -0.3333333333333333}{\sqrt{a \cdot 9 + -3}} \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.19%
Cost	7232

\[\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{a \cdot 9 + -3}}\right) \]

Alternative 2
Error	8.48%
Cost	7113

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -1.32 \cdot 10^{+72} \lor \neg \left(rand \leq 2.6 \cdot 10^{+91}\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a + -0.3333333333333333}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;a + -0.3333333333333333\\ \end{array} \]

Alternative 3
Error	1.38%
Cost	7104

\[\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{a \cdot 9}}\right) \]

Alternative 4
Error	0.28%
Cost	7104

\[-0.3333333333333333 + \left(a + 0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a + -0.3333333333333333}\right)\right) \]

Alternative 5
Error	9.34%
Cost	6985

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -6.8 \cdot 10^{+69} \lor \neg \left(rand \leq 3.5 \cdot 10^{+90}\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;a + -0.3333333333333333\\ \end{array} \]

Alternative 6
Error	1.47%
Cost	6976

\[-0.3333333333333333 + \left(a + 0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a}\right)\right) \]

Alternative 7
Error	28.6%
Cost	192

\[a + -0.3333333333333333 \]

Alternative 8
Error	98.51%
Cost	64

\[-0.3333333333333333 \]

Alternative 9
Error	29.72%
Cost	64

\[a \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023088 
(FPCore (a rand)
  :name "Octave 3.8, oct_fill_randg"
  :precision binary64
  (* (- a (/ 1.0 3.0)) (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))