UniformSampleCone 2

Average Error: 0.3 → 0.3

Time: 21.6s

Precision: binary32

Cost: 30112

\[\left(\left(\left(\left(\left(-10000 \leq xi \land xi \leq 10000\right) \land \left(-10000 \leq yi \land yi \leq 10000\right)\right) \land \left(-10000 \leq zi \land zi \leq 10000\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

↓

\[\mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(\sqrt[3]{{\left(2 \cdot \pi\right)}^{3} \cdot {uy}^{3}}\right) \cdot yi\right)\right) \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (+
   (*
    (*
     (cos (* (* uy 2.0) PI))
     (sqrt
      (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux)))))
    xi)
   (*
    (*
     (sin (* (* uy 2.0) PI))
     (sqrt
      (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux)))))
    yi))
  (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))

↓

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  ux
  (* (- 1.0 ux) (* maxCos zi))
  (*
   (sqrt
    (+ 1.0 (* (- 1.0 ux) (* (* (* ux maxCos) (* ux maxCos)) (+ ux -1.0)))))
   (+
    (* (cos (* uy (* 2.0 PI))) xi)
    (* (sin (cbrt (* (pow (* 2.0 PI) 3.0) (pow uy 3.0)))) yi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (((cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - ((((1.0f - ux) * maxCos) * ux) * (((1.0f - ux) * maxCos) * ux))))) * xi) + ((sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - ((((1.0f - ux) * maxCos) * ux) * (((1.0f - ux) * maxCos) * ux))))) * yi)) + ((((1.0f - ux) * maxCos) * ux) * zi);
}

↓

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf(ux, ((1.0f - ux) * (maxCos * zi)), (sqrtf((1.0f + ((1.0f - ux) * (((ux * maxCos) * (ux * maxCos)) * (ux + -1.0f))))) * ((cosf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * xi) + (sinf(cbrtf((powf((2.0f * ((float) M_PI)), 3.0f) * powf(uy, 3.0f)))) * yi))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux))))) * xi) + Float32(Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux))))) * yi)) + Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * zi))
end

↓

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(ux, Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(maxCos * zi)), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(Float32(Float32(ux * maxCos) * Float32(ux * maxCos)) * Float32(ux + Float32(-1.0)))))) * Float32(Float32(cos(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * xi) + Float32(sin(cbrt(Float32((Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) ^ Float32(3.0)) * (uy ^ Float32(3.0))))) * yi))))
end

Derivation

1. Initial program 0.3

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Simplified 0.3

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right)} \]
   Proof

   [Start] 0.3	\[ \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   +-commutative [=>] 0.3	\[ \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi + \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right)} \]
   *-commutative [=>] 0.3	\[ \color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)} \cdot zi + \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) \]
   associate-*l* [=>] 0.3	\[ \color{blue}{ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)} + \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) \]
   fma-def [=>] 0.3	\[ \color{blue}{\mathsf{fma}\left(ux, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi, \left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right)} \]

3. Applied egg-rr 0.3

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \color{blue}{\left(\sqrt[3]{{\left(2 \cdot \pi\right)}^{3} \cdot {uy}^{3}}\right)} \cdot yi\right)\right) \]

4. Final simplification 0.3

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(\sqrt[3]{{\left(2 \cdot \pi\right)}^{3} \cdot {uy}^{3}}\right) \cdot yi\right)\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.3
Cost	26720

\[\begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(1 - ux, ux \cdot \left(\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux - ux\right)\right), 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\cos t_0, xi, yi \cdot \sin t_0\right), ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right)\right) \end{array} \]

Alternative 2
Error	0.3
Cost	20448

\[\begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)} \cdot \left(\cos t_0 \cdot xi + yi \cdot \sin t_0\right)\right) \end{array} \]

Alternative 3
Error	0.4
Cost	17312

\[\begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\\ \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 + t_0 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + zi \cdot t_0 \end{array} \]

Alternative 4
Error	3.2
Cost	17248

\[\begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) \cdot maxCos\\ \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot t_0\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}, xi, yi \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right) + t_0 \cdot \left(ux \cdot zi\right) \end{array} \]

Alternative 5
Error	3.2
Cost	17248

\[\mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

Alternative 6
Error	5.8
Cost	16928

\[\mathsf{fma}\left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)}, 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) \]

Alternative 7
Error	5.8
Cost	16800

\[\mathsf{fma}\left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)}, uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \]

Alternative 8
Error	5.8
Cost	16800

\[\begin{array}{l} t_0 := \pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\\ \mathsf{fma}\left(\cos t_0, xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)}, yi \cdot t_0\right) \end{array} \]

Alternative 9
Error	13.1
Cost	13824

\[\mathsf{fma}\left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)}, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)\right) \]

Alternative 10
Error	13.1
Cost	13824

\[\mathsf{fma}\left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)}, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]

Alternative 11
Error	13.1
Cost	13696

\[\mathsf{fma}\left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)}, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)\right) \]

Alternative 12
Error	13.1
Cost	13696

\[\mathsf{fma}\left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)}, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi - ux \cdot zi\right)\right)\right) \]

Alternative 13
Error	13.8
Cost	13568

\[\mathsf{fma}\left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)}, maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \]

Alternative 14
Error	13.8
Cost	13568

\[\mathsf{fma}\left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)}, ux \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right) \]

Alternative 15
Error	16.3
Cost	7072

\[\mathsf{fma}\left(1, xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)}, maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023083 
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone 2"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (and (and (<= -10000.0 xi) (<= xi 10000.0)) (and (<= -10000.0 yi) (<= yi 10000.0))) (and (<= -10000.0 zi) (<= zi 10000.0))) (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (+ (+ (* (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) xi) (* (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) yi)) (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))