Octave 3.8, oct_fill_randg

Average Error: 0.1 → 0.1

Time: 11.6s

Precision: binary64

Cost: 7104

Math

\[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

↓

\[\left(a + \sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot \left(rand \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - 0.3333333333333333 \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (*
  (- a (/ 1.0 3.0))
  (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))

↓

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (-
  (+ a (* (sqrt (- a 0.3333333333333333)) (* rand 0.3333333333333333)))
  0.3333333333333333))

C

double code(double a, double rand) {
	return (a - (1.0 / 3.0)) * (1.0 + ((1.0 / sqrt((9.0 * (a - (1.0 / 3.0))))) * rand));
}

↓

double code(double a, double rand) {
	return (a + (sqrt((a - 0.3333333333333333)) * (rand * 0.3333333333333333))) - 0.3333333333333333;
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    code = (a - (1.0d0 / 3.0d0)) * (1.0d0 + ((1.0d0 / sqrt((9.0d0 * (a - (1.0d0 / 3.0d0))))) * rand))
end function

↓

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    code = (a + (sqrt((a - 0.3333333333333333d0)) * (rand * 0.3333333333333333d0))) - 0.3333333333333333d0
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	return (a - (1.0 / 3.0)) * (1.0 + ((1.0 / Math.sqrt((9.0 * (a - (1.0 / 3.0))))) * rand));
}

↓

public static double code(double a, double rand) {
	return (a + (Math.sqrt((a - 0.3333333333333333)) * (rand * 0.3333333333333333))) - 0.3333333333333333;
}

Python

def code(a, rand):
	return (a - (1.0 / 3.0)) * (1.0 + ((1.0 / math.sqrt((9.0 * (a - (1.0 / 3.0))))) * rand))

↓

def code(a, rand):
	return (a + (math.sqrt((a - 0.3333333333333333)) * (rand * 0.3333333333333333))) - 0.3333333333333333

Julia

function code(a, rand)
	return Float64(Float64(a - Float64(1.0 / 3.0)) * Float64(1.0 + Float64(Float64(1.0 / sqrt(Float64(9.0 * Float64(a - Float64(1.0 / 3.0))))) * rand)))
end

↓

function code(a, rand)
	return Float64(Float64(a + Float64(sqrt(Float64(a - 0.3333333333333333)) * Float64(rand * 0.3333333333333333))) - 0.3333333333333333)
end

MATLAB

function tmp = code(a, rand)
	tmp = (a - (1.0 / 3.0)) * (1.0 + ((1.0 / sqrt((9.0 * (a - (1.0 / 3.0))))) * rand));
end

↓

function tmp = code(a, rand)
	tmp = (a + (sqrt((a - 0.3333333333333333)) * (rand * 0.3333333333333333))) - 0.3333333333333333;
end

Wolfram

code[a_, rand_] := N[(N[(a - N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(1.0 / N[Sqrt[N[(9.0 * N[(a - N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * rand), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[a_, rand_] := N[(N[(a + N[(N[Sqrt[N[(a - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(rand * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 0.1

   \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

2. Simplified 0.1

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a - 0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]
   Proof

   [Start] 0.1	\[ \left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   metadata-eval [=>] 0.1	\[ \left(a - \color{blue}{0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   rational.json-simplify-2 [=>] 0.1	\[ \left(a - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]
   metadata-eval [=>] 0.1	\[ \left(a - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a - \color{blue}{0.3333333333333333}\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

3. Taylor expanded in rand around 0 0.2

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right) + a\right) - 0.3333333333333333} \]

4. Simplified 0.1

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot \left(rand \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - 0.3333333333333333} \]
   Proof

   [Start] 0.2	\[ \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right) + a\right) - 0.3333333333333333 \]
   rational.json-simplify-1 [<=] 0.2	\[ \color{blue}{\left(a + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right)\right)} - 0.3333333333333333 \]
   rational.json-simplify-43 [=>] 0.1	\[ \left(a + \color{blue}{\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot \left(rand \cdot 0.3333333333333333\right)}\right) - 0.3333333333333333 \]

5. Final simplification 0.1

   \[\leadsto \left(a + \sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot \left(rand \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - 0.3333333333333333 \]

Alternatives

Alternative 1
Error	5.7
Cost	7112

\[\begin{array}{l} t_0 := 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right)\\ \mathbf{if}\;rand \leq -3.4 \cdot 10^{+59}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;rand \leq 3.6 \cdot 10^{+59}:\\ \;\;\;\;a - 0.3333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \]

Alternative 2
Error	5.7
Cost	7112

\[\begin{array}{l} t_0 := rand \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)\\ \mathbf{if}\;rand \leq -3.4 \cdot 10^{+59}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;rand \leq 8.2 \cdot 10^{+56}:\\ \;\;\;\;a - 0.3333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \]

Alternative 3
Error	5.6
Cost	7112

\[\begin{array}{l} t_0 := \sqrt{a - 0.3333333333333333}\\ \mathbf{if}\;rand \leq -3.4 \cdot 10^{+59}:\\ \;\;\;\;t_0 \cdot \left(rand \cdot 0.3333333333333333\right)\\ \mathbf{elif}\;rand \leq 3.6 \cdot 10^{+59}:\\ \;\;\;\;a - 0.3333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;rand \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot t_0\right)\\ \end{array} \]

Alternative 4
Error	18.1
Cost	192

\[a - 0.3333333333333333 \]

Alternative 5
Error	18.8
Cost	64

\[a \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023077 
(FPCore (a rand)
  :name "Octave 3.8, oct_fill_randg"
  :precision binary64
  (* (- a (/ 1.0 3.0)) (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))