normal distribution

Average Error: 0.4 → 0.3

Time: 25.0s

Precision: binary64

Cost: 32832

\[\left(0 \leq u1 \land u1 \leq 1\right) \land \left(0 \leq u2 \land u2 \leq 1\right)\]

Math

\[\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]

↓

\[\cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{-\log u1} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{2}\right)\right) + 0.5 \]

FPCore

(FPCore (u1 u2)
 :precision binary64
 (+
  (* (* (/ 1.0 6.0) (pow (* -2.0 (log u1)) 0.5)) (cos (* (* 2.0 PI) u2)))
  0.5))

↓

(FPCore (u1 u2)
 :precision binary64
 (+
  (*
   (cos (* 2.0 (* u2 PI)))
   (* (sqrt (- (log u1))) (* 0.16666666666666666 (sqrt 2.0))))
  0.5))

C

double code(double u1, double u2) {
	return (((1.0 / 6.0) * pow((-2.0 * log(u1)), 0.5)) * cos(((2.0 * ((double) M_PI)) * u2))) + 0.5;
}

↓

double code(double u1, double u2) {
	return (cos((2.0 * (u2 * ((double) M_PI)))) * (sqrt(-log(u1)) * (0.16666666666666666 * sqrt(2.0)))) + 0.5;
}

Java

public static double code(double u1, double u2) {
	return (((1.0 / 6.0) * Math.pow((-2.0 * Math.log(u1)), 0.5)) * Math.cos(((2.0 * Math.PI) * u2))) + 0.5;
}

↓

public static double code(double u1, double u2) {
	return (Math.cos((2.0 * (u2 * Math.PI))) * (Math.sqrt(-Math.log(u1)) * (0.16666666666666666 * Math.sqrt(2.0)))) + 0.5;
}

Python

def code(u1, u2):
	return (((1.0 / 6.0) * math.pow((-2.0 * math.log(u1)), 0.5)) * math.cos(((2.0 * math.pi) * u2))) + 0.5

↓

def code(u1, u2):
	return (math.cos((2.0 * (u2 * math.pi))) * (math.sqrt(-math.log(u1)) * (0.16666666666666666 * math.sqrt(2.0)))) + 0.5

Julia

function code(u1, u2)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 / 6.0) * (Float64(-2.0 * log(u1)) ^ 0.5)) * cos(Float64(Float64(2.0 * pi) * u2))) + 0.5)
end

↓

function code(u1, u2)
	return Float64(Float64(cos(Float64(2.0 * Float64(u2 * pi))) * Float64(sqrt(Float64(-log(u1))) * Float64(0.16666666666666666 * sqrt(2.0)))) + 0.5)
end

MATLAB

function tmp = code(u1, u2)
	tmp = (((1.0 / 6.0) * ((-2.0 * log(u1)) ^ 0.5)) * cos(((2.0 * pi) * u2))) + 0.5;
end

↓

function tmp = code(u1, u2)
	tmp = (cos((2.0 * (u2 * pi))) * (sqrt(-log(u1)) * (0.16666666666666666 * sqrt(2.0)))) + 0.5;
end

Wolfram

code[u1_, u2_] := N[(N[(N[(N[(1.0 / 6.0), $MachinePrecision] * N[Power[N[(-2.0 * N[Log[u1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] * u2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision]

↓

code[u1_, u2_] := N[(N[(N[Cos[N[(2.0 * N[(u2 * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(N[Sqrt[(-N[Log[u1], $MachinePrecision])], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 * N[Sqrt[2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 0.4

   \[\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]

2. Simplified 0.4

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 + {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right)\right)} \]
   Proof

   [Start] 0.4	\[ \left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]
   rational.json-simplify-1 [=>] 0.4	\[ \color{blue}{0.5 + \left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right)} \]
   rational.json-simplify-2 [=>] 0.4	\[ 0.5 + \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right)} \]
   rational.json-simplify-2 [=>] 0.4	\[ 0.5 + \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \cdot \color{blue}{\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5} \cdot \frac{1}{6}\right)} \]
   rational.json-simplify-43 [=>] 0.4	\[ 0.5 + \color{blue}{{\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right)\right)} \]
   metadata-eval [=>] 0.4	\[ 0.5 + {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5} \cdot \left(\color{blue}{0.16666666666666666} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right)\right) \]

3. Taylor expanded in u1 around inf 0.3

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 + 0.16666666666666666 \cdot \left(\left(\sqrt{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)}\right)} \]

4. Simplified 0.4

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{2}\right) \cdot \left(\sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)} \cdot 0.16666666666666666\right) + 0.5} \]
   Proof

   [Start] 0.3	\[ 0.5 + 0.16666666666666666 \cdot \left(\left(\sqrt{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)}\right) \]
   rational.json-simplify-1 [=>] 0.3	\[ \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(\left(\sqrt{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)}\right) + 0.5} \]
   rational.json-simplify-43 [=>] 0.4	\[ \color{blue}{\left(\sqrt{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(\sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)} \cdot 0.16666666666666666\right)} + 0.5 \]
   rational.json-simplify-2 [=>] 0.4	\[ \color{blue}{\left(\cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{2}\right)} \cdot \left(\sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)} \cdot 0.16666666666666666\right) + 0.5 \]

5. Taylor expanded in u1 around 0 0.3

   \[\leadsto \left(\cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{2}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{-1 \cdot \log u1}} \cdot 0.16666666666666666\right) + 0.5 \]

6. Simplified 0.3

   \[\leadsto \left(\cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{2}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{-\log u1}} \cdot 0.16666666666666666\right) + 0.5 \]
   Proof

   [Start] 0.3	\[ \left(\cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{2}\right) \cdot \left(\sqrt{-1 \cdot \log u1} \cdot 0.16666666666666666\right) + 0.5 \]
   rational.json-simplify-2 [=>] 0.3	\[ \left(\cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{2}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\log u1 \cdot -1}} \cdot 0.16666666666666666\right) + 0.5 \]
   rational.json-simplify-9 [=>] 0.3	\[ \left(\cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{2}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{-\log u1}} \cdot 0.16666666666666666\right) + 0.5 \]

7. Applied egg-rr 0.5

   \[\leadsto \left(\cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{-\log u1}} \cdot \sqrt{\log u1 \cdot \log u1}\right)} \cdot 0.16666666666666666\right) + 0.5 \]

8. Applied egg-rr 0.3

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{-\log u1} \cdot \left(\sqrt{2} \cdot 0.16666666666666666\right)\right) + 0\right)} + 0.5 \]

9. Simplified 0.3

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{-\log u1} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{2}\right)\right)} + 0.5 \]
   Proof

   [Start] 0.3	\[ \left(\cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{-\log u1} \cdot \left(\sqrt{2} \cdot 0.16666666666666666\right)\right) + 0\right) + 0.5 \]
   rational.json-simplify-4 [=>] 0.3	\[ \color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{-\log u1} \cdot \left(\sqrt{2} \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} + 0.5 \]
   rational.json-simplify-2 [=>] 0.3	\[ \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{-\log u1} \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{2}\right)}\right) + 0.5 \]

10. Final simplification 0.3

    \[\leadsto \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{-\log u1} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{2}\right)\right) + 0.5 \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.4
Cost	26368

\[0.5 + \sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right)\right) \]

Alternative 2
Error	1.2
Cost	13632

\[0.16666666666666666 \cdot \left(\left(0 - \left(-1 - \sqrt{\log u1 \cdot -2}\right)\right) - 1\right) + 0.5 \]

Alternative 3
Error	1.2
Cost	13248

\[0.16666666666666666 \cdot \sqrt{\log u1 \cdot -2} + 0.5 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023077 
(FPCore (u1 u2)
  :name "normal distribution"
  :precision binary64
  :pre (and (and (<= 0.0 u1) (<= u1 1.0)) (and (<= 0.0 u2) (<= u2 1.0)))
  (+ (* (* (/ 1.0 6.0) (pow (* -2.0 (log u1)) 0.5)) (cos (* (* 2.0 PI) u2))) 0.5))