?

Average Error: 36.3 → 14.0
Time: 45.3s
Precision: binary64
Cost: 347080

?

\[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
↓
\[\begin{array}{l} t_0 := \frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}\\ t_1 := {\sin x}^{2}\\ t_2 := {\cos x}^{2}\\ t_3 := \frac{t_1}{t_2}\\ t_4 := 0.16666666666666666 \cdot t_3\\ t_5 := t_3 - -1\\ t_6 := -\frac{t_1 \cdot t_5}{t_2}\\ t_7 := -0.5 \cdot t_5\\ \mathbf{if}\;\varepsilon \leq -0.265:\\ \;\;\;\;t_0 - \tan x\\ \mathbf{elif}\;\varepsilon \leq 0.0048:\\ \;\;\;\;\varepsilon \cdot t_5 + \left({\varepsilon}^{3} \cdot \left(-0.16666666666666666 - \left(t_4 + \left(t_6 + t_7\right)\right)\right) + \left(\frac{t_5 \cdot \left(\sin x \cdot {\varepsilon}^{2}\right)}{\cos x} + \left(\frac{\sin x \cdot \left(t_6 + \left(t_4 + \left(0.16666666666666666 + t_7\right)\right)\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot t_5}{\cos x} \cdot -0.3333333333333333\right) \cdot \left(-{\varepsilon}^{4}\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \]
(FPCore (x eps) :precision binary64 (- (tan (+ x eps)) (tan x)))
↓
(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (sin eps) (cos eps)))
        (t_1 (pow (sin x) 2.0))
        (t_2 (pow (cos x) 2.0))
        (t_3 (/ t_1 t_2))
        (t_4 (* 0.16666666666666666 t_3))
        (t_5 (- t_3 -1.0))
        (t_6 (- (/ (* t_1 t_5) t_2)))
        (t_7 (* -0.5 t_5)))
   (if (<= eps -0.265)
     (- t_0 (tan x))
     (if (<= eps 0.0048)
       (+
        (* eps t_5)
        (+
         (* (pow eps 3.0) (- -0.16666666666666666 (+ t_4 (+ t_6 t_7))))
         (+
          (/ (* t_5 (* (sin x) (pow eps 2.0))) (cos x))
          (*
           (+
            (/ (* (sin x) (+ t_6 (+ t_4 (+ 0.16666666666666666 t_7)))) (cos x))
            (* (/ (* (sin x) t_5) (cos x)) -0.3333333333333333))
           (- (pow eps 4.0))))))
       t_0))))
double code(double x, double eps) {
	return tan((x + eps)) - tan(x);
}
↓
double code(double x, double eps) {
	double t_0 = sin(eps) / cos(eps);
	double t_1 = pow(sin(x), 2.0);
	double t_2 = pow(cos(x), 2.0);
	double t_3 = t_1 / t_2;
	double t_4 = 0.16666666666666666 * t_3;
	double t_5 = t_3 - -1.0;
	double t_6 = -((t_1 * t_5) / t_2);
	double t_7 = -0.5 * t_5;
	double tmp;
	if (eps <= -0.265) {
		tmp = t_0 - tan(x);
	} else if (eps <= 0.0048) {
		tmp = (eps * t_5) + ((pow(eps, 3.0) * (-0.16666666666666666 - (t_4 + (t_6 + t_7)))) + (((t_5 * (sin(x) * pow(eps, 2.0))) / cos(x)) + ((((sin(x) * (t_6 + (t_4 + (0.16666666666666666 + t_7)))) / cos(x)) + (((sin(x) * t_5) / cos(x)) * -0.3333333333333333)) * -pow(eps, 4.0))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = tan((x + eps)) - tan(x)
end function
↓
real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: t_5
    real(8) :: t_6
    real(8) :: t_7
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin(eps) / cos(eps)
    t_1 = sin(x) ** 2.0d0
    t_2 = cos(x) ** 2.0d0
    t_3 = t_1 / t_2
    t_4 = 0.16666666666666666d0 * t_3
    t_5 = t_3 - (-1.0d0)
    t_6 = -((t_1 * t_5) / t_2)
    t_7 = (-0.5d0) * t_5
    if (eps <= (-0.265d0)) then
        tmp = t_0 - tan(x)
    else if (eps <= 0.0048d0) then
        tmp = (eps * t_5) + (((eps ** 3.0d0) * ((-0.16666666666666666d0) - (t_4 + (t_6 + t_7)))) + (((t_5 * (sin(x) * (eps ** 2.0d0))) / cos(x)) + ((((sin(x) * (t_6 + (t_4 + (0.16666666666666666d0 + t_7)))) / cos(x)) + (((sin(x) * t_5) / cos(x)) * (-0.3333333333333333d0))) * -(eps ** 4.0d0))))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.tan((x + eps)) - Math.tan(x);
}
↓
public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = Math.sin(eps) / Math.cos(eps);
	double t_1 = Math.pow(Math.sin(x), 2.0);
	double t_2 = Math.pow(Math.cos(x), 2.0);
	double t_3 = t_1 / t_2;
	double t_4 = 0.16666666666666666 * t_3;
	double t_5 = t_3 - -1.0;
	double t_6 = -((t_1 * t_5) / t_2);
	double t_7 = -0.5 * t_5;
	double tmp;
	if (eps <= -0.265) {
		tmp = t_0 - Math.tan(x);
	} else if (eps <= 0.0048) {
		tmp = (eps * t_5) + ((Math.pow(eps, 3.0) * (-0.16666666666666666 - (t_4 + (t_6 + t_7)))) + (((t_5 * (Math.sin(x) * Math.pow(eps, 2.0))) / Math.cos(x)) + ((((Math.sin(x) * (t_6 + (t_4 + (0.16666666666666666 + t_7)))) / Math.cos(x)) + (((Math.sin(x) * t_5) / Math.cos(x)) * -0.3333333333333333)) * -Math.pow(eps, 4.0))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

def code(x, eps):
	return math.tan((x + eps)) - math.tan(x)
↓
def code(x, eps):
	t_0 = math.sin(eps) / math.cos(eps)
	t_1 = math.pow(math.sin(x), 2.0)
	t_2 = math.pow(math.cos(x), 2.0)
	t_3 = t_1 / t_2
	t_4 = 0.16666666666666666 * t_3
	t_5 = t_3 - -1.0
	t_6 = -((t_1 * t_5) / t_2)
	t_7 = -0.5 * t_5
	tmp = 0
	if eps <= -0.265:
		tmp = t_0 - math.tan(x)
	elif eps <= 0.0048:
		tmp = (eps * t_5) + ((math.pow(eps, 3.0) * (-0.16666666666666666 - (t_4 + (t_6 + t_7)))) + (((t_5 * (math.sin(x) * math.pow(eps, 2.0))) / math.cos(x)) + ((((math.sin(x) * (t_6 + (t_4 + (0.16666666666666666 + t_7)))) / math.cos(x)) + (((math.sin(x) * t_5) / math.cos(x)) * -0.3333333333333333)) * -math.pow(eps, 4.0))))
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

function code(x, eps)
	return Float64(tan(Float64(x + eps)) - tan(x))
end
↓
function code(x, eps)
	t_0 = Float64(sin(eps) / cos(eps))
	t_1 = sin(x) ^ 2.0
	t_2 = cos(x) ^ 2.0
	t_3 = Float64(t_1 / t_2)
	t_4 = Float64(0.16666666666666666 * t_3)
	t_5 = Float64(t_3 - -1.0)
	t_6 = Float64(-Float64(Float64(t_1 * t_5) / t_2))
	t_7 = Float64(-0.5 * t_5)
	tmp = 0.0
	if (eps <= -0.265)
		tmp = Float64(t_0 - tan(x));
	elseif (eps <= 0.0048)
		tmp = Float64(Float64(eps * t_5) + Float64(Float64((eps ^ 3.0) * Float64(-0.16666666666666666 - Float64(t_4 + Float64(t_6 + t_7)))) + Float64(Float64(Float64(t_5 * Float64(sin(x) * (eps ^ 2.0))) / cos(x)) + Float64(Float64(Float64(Float64(sin(x) * Float64(t_6 + Float64(t_4 + Float64(0.16666666666666666 + t_7)))) / cos(x)) + Float64(Float64(Float64(sin(x) * t_5) / cos(x)) * -0.3333333333333333)) * Float64(-(eps ^ 4.0))))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

function tmp = code(x, eps)
	tmp = tan((x + eps)) - tan(x);
end
↓
function tmp_2 = code(x, eps)
	t_0 = sin(eps) / cos(eps);
	t_1 = sin(x) ^ 2.0;
	t_2 = cos(x) ^ 2.0;
	t_3 = t_1 / t_2;
	t_4 = 0.16666666666666666 * t_3;
	t_5 = t_3 - -1.0;
	t_6 = -((t_1 * t_5) / t_2);
	t_7 = -0.5 * t_5;
	tmp = 0.0;
	if (eps <= -0.265)
		tmp = t_0 - tan(x);
	elseif (eps <= 0.0048)
		tmp = (eps * t_5) + (((eps ^ 3.0) * (-0.16666666666666666 - (t_4 + (t_6 + t_7)))) + (((t_5 * (sin(x) * (eps ^ 2.0))) / cos(x)) + ((((sin(x) * (t_6 + (t_4 + (0.16666666666666666 + t_7)))) / cos(x)) + (((sin(x) * t_5) / cos(x)) * -0.3333333333333333)) * -(eps ^ 4.0))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

code[x_, eps_] := N[(N[Tan[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]
↓
code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sin[eps], $MachinePrecision] / N[Cos[eps], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(t$95$1 / t$95$2), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(0.16666666666666666 * t$95$3), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[(t$95$3 - -1.0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$6 = (-N[(N[(t$95$1 * t$95$5), $MachinePrecision] / t$95$2), $MachinePrecision])}, Block[{t$95$7 = N[(-0.5 * t$95$5), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[eps, -0.265], N[(t$95$0 - N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[eps, 0.0048], N[(N[(eps * t$95$5), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Power[eps, 3.0], $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 - N[(t$95$4 + N[(t$95$6 + t$95$7), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(t$95$5 * N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[Power[eps, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(t$95$6 + N[(t$95$4 + N[(0.16666666666666666 + t$95$7), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * t$95$5), $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * (-N[Power[eps, 4.0], $MachinePrecision])), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]]]]]]]]]

\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x
↓
\begin{array}{l}
t_0 := \frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}\\
t_1 := {\sin x}^{2}\\
t_2 := {\cos x}^{2}\\
t_3 := \frac{t_1}{t_2}\\
t_4 := 0.16666666666666666 \cdot t_3\\
t_5 := t_3 - -1\\
t_6 := -\frac{t_1 \cdot t_5}{t_2}\\
t_7 := -0.5 \cdot t_5\\
\mathbf{if}\;\varepsilon \leq -0.265:\\
\;\;\;\;t_0 - \tan x\\

\mathbf{elif}\;\varepsilon \leq 0.0048:\\
\;\;\;\;\varepsilon \cdot t_5 + \left({\varepsilon}^{3} \cdot \left(-0.16666666666666666 - \left(t_4 + \left(t_6 + t_7\right)\right)\right) + \left(\frac{t_5 \cdot \left(\sin x \cdot {\varepsilon}^{2}\right)}{\cos x} + \left(\frac{\sin x \cdot \left(t_6 + \left(t_4 + \left(0.16666666666666666 + t_7\right)\right)\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot t_5}{\cos x} \cdot -0.3333333333333333\right) \cdot \left(-{\varepsilon}^{4}\right)\right)\right)\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;t_0\\


\end{array}

Error?

Try it out?

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original36.3
Target14.7
Herbie14.0
\[\frac{\sin \varepsilon}{\cos x \cdot \cos \left(x + \varepsilon\right)} \]

Derivation?

  1. Split input into 3 regimes

  2. if eps < -0.26500000000000001

    1. Initial program 28.5

      \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]

    2. Taylor expanded in x around 0 27.2

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}} - \tan x \]

    if -0.26500000000000001 < eps < 0.00479999999999999958

    1. Initial program 44.1

      \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]

    2. Taylor expanded in eps around 0 0.4

      \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \left(\frac{{\varepsilon}^{2} \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x} + \left(-1 \cdot \left(\left(-0.5 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{\left(0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + -0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) \cdot \sin x}{\cos x} + 0.16666666666666666 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) \cdot {\varepsilon}^{4}\right) + -1 \cdot \left({\varepsilon}^{3} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + -0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]

    3. Simplified0.4

      \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - -1\right) + \left({\varepsilon}^{3} \cdot \left(-0.16666666666666666 - \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\left(-\frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - -1\right)}{{\cos x}^{2}}\right) + -0.5 \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - -1\right)\right)\right)\right) + \left(\frac{\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - -1\right) \cdot \left(\sin x \cdot {\varepsilon}^{2}\right)}{\cos x} + \left(\frac{\sin x \cdot \left(\left(-\frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - -1\right)}{{\cos x}^{2}}\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(0.16666666666666666 + -0.5 \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - -1\right)\right)\right)\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - -1\right)}{\cos x} \cdot -0.3333333333333333\right) \cdot \left(-{\varepsilon}^{4}\right)\right)\right)} \]
      Proof

      [Start]0.4

      \[ \varepsilon \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \left(\frac{{\varepsilon}^{2} \cdot \left(\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}{\cos x} + \left(-1 \cdot \left(\left(-0.5 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{\left(0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + -0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) \cdot \sin x}{\cos x} + 0.16666666666666666 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) \cdot {\varepsilon}^{4}\right) + -1 \cdot \left({\varepsilon}^{3} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(0.16666666666666666 + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + -0.5 \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    if 0.00479999999999999958 < eps

    1. Initial program 28.7

      \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]

    2. Applied egg-rr28.9

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\tan \left(x + \varepsilon\right) - \left(\tan x - -1\right)\right) + 1} \]

    3. Taylor expanded in x around 0 27.1

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}} \]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification14.0

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\varepsilon \leq -0.265:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon} - \tan x\\ \mathbf{elif}\;\varepsilon \leq 0.0048:\\ \;\;\;\;\varepsilon \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - -1\right) + \left({\varepsilon}^{3} \cdot \left(-0.16666666666666666 - \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\left(-\frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - -1\right)}{{\cos x}^{2}}\right) + -0.5 \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - -1\right)\right)\right)\right) + \left(\frac{\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - -1\right) \cdot \left(\sin x \cdot {\varepsilon}^{2}\right)}{\cos x} + \left(\frac{\sin x \cdot \left(\left(-\frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - -1\right)}{{\cos x}^{2}}\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(0.16666666666666666 + -0.5 \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - -1\right)\right)\right)\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - -1\right)}{\cos x} \cdot -0.3333333333333333\right) \cdot \left(-{\varepsilon}^{4}\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}\\ \end{array} \]

Alternatives

Alternative 1
Error14.3
Cost183432
\[\begin{array}{l} t_0 := {\sin x}^{2}\\ t_1 := \frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}\\ t_2 := {\cos x}^{2}\\ t_3 := \frac{t_0}{t_2}\\ t_4 := t_3 - -1\\ \mathbf{if}\;\varepsilon \leq -51000000000:\\ \;\;\;\;t_1 - \tan x\\ \mathbf{elif}\;\varepsilon \leq 0.0255:\\ \;\;\;\;\frac{t_4 \cdot \left(\sin x \cdot {\varepsilon}^{2}\right)}{\cos x} + \left(\varepsilon \cdot t_4 + {\varepsilon}^{3} \cdot \left(-0.16666666666666666 - \left(0.16666666666666666 \cdot t_3 + \left(\left(-\frac{t_0 \cdot t_4}{t_2}\right) + -0.5 \cdot t_4\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_1\\ \end{array} \]
Alternative 2
Error14.1
Cost72200
\[\begin{array}{l} t_0 := \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - -1\\ t_1 := \frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}\\ \mathbf{if}\;\varepsilon \leq -0.185:\\ \;\;\;\;t_1 - \tan x\\ \mathbf{elif}\;\varepsilon \leq 5.9 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\varepsilon \cdot t_0 + \frac{t_0 \cdot \left(\sin x \cdot {\varepsilon}^{2}\right)}{\cos x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_1\\ \end{array} \]
Alternative 3
Error14.5
Cost46088
\[\begin{array}{l} t_0 := \frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}\\ \mathbf{if}\;\varepsilon \leq -51000000000:\\ \;\;\;\;t_0 - \tan x\\ \mathbf{elif}\;\varepsilon \leq 5.3 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\varepsilon \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\left(\cos x \cdot \cos x\right)}^{2} \cdot \frac{1}{{\cos x}^{2}}} - -1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \]
Alternative 4
Error14.5
Cost26440
\[\begin{array}{l} t_0 := \frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}\\ \mathbf{if}\;\varepsilon \leq -51000000000:\\ \;\;\;\;t_0 - \tan x\\ \mathbf{elif}\;\varepsilon \leq 4.5 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\varepsilon \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - -1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \]
Alternative 5
Error26.5
Cost12992
\[\frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon} \]
Alternative 6
Error27.7
Cost7112
\[\begin{array}{l} t_0 := \left(\tan \left(x + \varepsilon\right) - 1\right) + 1\\ \mathbf{if}\;\varepsilon \leq -51000000000:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;\varepsilon \leq 0.0028:\\ \;\;\;\;\varepsilon + 0.3333333333333333 \cdot {\varepsilon}^{3}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \]
Alternative 7
Error44.3
Cost64
\[\varepsilon \]

Error

Reproduce?

herbie shell --seed 2023077 
(FPCore (x eps)
  :name "2tan (problem 3.3.2)"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (/ (sin eps) (* (cos x) (cos (+ x eps))))

  (- (tan (+ x eps)) (tan x)))