bug500 (missed optimization)

Average Error: 19.6 → 0.7

Time: 4.3s

Precision: binary64

Cost: 20096

\[-1000 < x \land x < 1000\]

Math

\[\sin x - x \]

↓

\[0.008333333333333333 \cdot {x}^{5} + \left(-0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + -0.0001984126984126984 \cdot {x}^{7}\right) \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (sin x) x))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* 0.008333333333333333 (pow x 5.0))
  (+
   (* -0.16666666666666666 (pow x 3.0))
   (* -0.0001984126984126984 (pow x 7.0)))))

C

double code(double x) {
	return sin(x) - x;
}

↓

double code(double x) {
	return (0.008333333333333333 * pow(x, 5.0)) + ((-0.16666666666666666 * pow(x, 3.0)) + (-0.0001984126984126984 * pow(x, 7.0)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = sin(x) - x
end function

↓

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (0.008333333333333333d0 * (x ** 5.0d0)) + (((-0.16666666666666666d0) * (x ** 3.0d0)) + ((-0.0001984126984126984d0) * (x ** 7.0d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.sin(x) - x;
}

↓

public static double code(double x) {
	return (0.008333333333333333 * Math.pow(x, 5.0)) + ((-0.16666666666666666 * Math.pow(x, 3.0)) + (-0.0001984126984126984 * Math.pow(x, 7.0)));
}

Python

def code(x):
	return math.sin(x) - x

↓

def code(x):
	return (0.008333333333333333 * math.pow(x, 5.0)) + ((-0.16666666666666666 * math.pow(x, 3.0)) + (-0.0001984126984126984 * math.pow(x, 7.0)))

Julia

function code(x)
	return Float64(sin(x) - x)
end

↓

function code(x)
	return Float64(Float64(0.008333333333333333 * (x ^ 5.0)) + Float64(Float64(-0.16666666666666666 * (x ^ 3.0)) + Float64(-0.0001984126984126984 * (x ^ 7.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = sin(x) - x;
end

↓

function tmp = code(x)
	tmp = (0.008333333333333333 * (x ^ 5.0)) + ((-0.16666666666666666 * (x ^ 3.0)) + (-0.0001984126984126984 * (x ^ 7.0)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] - x), $MachinePrecision]

↓

code[x_] := N[(N[(0.008333333333333333 * N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.16666666666666666 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.0001984126984126984 * N[Power[x, 7.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Target

Original	19.6
Target	0.1
Herbie	0.7

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.07:\\ \;\;\;\;-\left(\left(\frac{{x}^{3}}{6} - \frac{{x}^{5}}{120}\right) + \frac{{x}^{7}}{5040}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin x - x\\ \end{array} \]

Derivation

1. Initial program 19.6

   \[\sin x - x \]

2. Taylor expanded in x around 0 0.7

   \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{5} + -0.0001984126984126984 \cdot {x}^{7}\right)} \]

3. Simplified 0.7

   \[\leadsto \color{blue}{0.008333333333333333 \cdot {x}^{5} + \left(-0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + -0.0001984126984126984 \cdot {x}^{7}\right)} \]
   Proof

   [Start] 0.7	\[ -0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{5} + -0.0001984126984126984 \cdot {x}^{7}\right) \]
   rational.json-simplify-41 [=>] 0.7	\[ \color{blue}{0.008333333333333333 \cdot {x}^{5} + \left(-0.0001984126984126984 \cdot {x}^{7} + -0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)} \]
   rational.json-simplify-1 [=>] 0.7	\[ 0.008333333333333333 \cdot {x}^{5} + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + -0.0001984126984126984 \cdot {x}^{7}\right)} \]

4. Final simplification 0.7

   \[\leadsto 0.008333333333333333 \cdot {x}^{5} + \left(-0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + -0.0001984126984126984 \cdot {x}^{7}\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.9
Cost	13376

\[-0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{5} \]

Alternative 2
Error	1.2
Cost	6656

\[-0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} \]

Alternative 3
Error	19.6
Cost	6592

\[\sin x - x \]

Alternative 4
Error	59.8
Cost	128

\[-x \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023075 
(FPCore (x)
  :name "bug500 (missed optimization)"
  :precision binary64
  :pre (and (< -1000.0 x) (< x 1000.0))

  :herbie-target
  (if (< (fabs x) 0.07) (- (+ (- (/ (pow x 3.0) 6.0) (/ (pow x 5.0) 120.0)) (/ (pow x 7.0) 5040.0))) (- (sin x) x))

  (- (sin x) x))