tanhf (example 3.4)

Average Error: 30.2 → 0.5

Time: 21.2s

Precision: binary64

Cost: 20616

Math

\[\frac{1 - \cos x}{\sin x} \]

↓

\[\begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{\frac{\sin x}{1 - \cos x}}\\ \mathbf{if}\;x \leq -0.06:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.062:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot x + \left(0.041666666666666664 \cdot {x}^{3} + \left(0.004166666666666667 \cdot {x}^{5} + 0.00042162698412698415 \cdot {x}^{7}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- 1.0 (cos x)) (sin x)))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (/ (sin x) (- 1.0 (cos x))))))
   (if (<= x -0.06)
     t_0
     (if (<= x 0.062)
       (+
        (* 0.5 x)
        (+
         (* 0.041666666666666664 (pow x 3.0))
         (+
          (* 0.004166666666666667 (pow x 5.0))
          (* 0.00042162698412698415 (pow x 7.0)))))
       t_0))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 - cos(x)) / sin(x);
}

↓

double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 / (sin(x) / (1.0 - cos(x)));
	double tmp;
	if (x <= -0.06) {
		tmp = t_0;
	} else if (x <= 0.062) {
		tmp = (0.5 * x) + ((0.041666666666666664 * pow(x, 3.0)) + ((0.004166666666666667 * pow(x, 5.0)) + (0.00042162698412698415 * pow(x, 7.0))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (1.0d0 - cos(x)) / sin(x)
end function

↓

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = 1.0d0 / (sin(x) / (1.0d0 - cos(x)))
    if (x <= (-0.06d0)) then
        tmp = t_0
    else if (x <= 0.062d0) then
        tmp = (0.5d0 * x) + ((0.041666666666666664d0 * (x ** 3.0d0)) + ((0.004166666666666667d0 * (x ** 5.0d0)) + (0.00042162698412698415d0 * (x ** 7.0d0))))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 - Math.cos(x)) / Math.sin(x);
}

↓

public static double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 / (Math.sin(x) / (1.0 - Math.cos(x)));
	double tmp;
	if (x <= -0.06) {
		tmp = t_0;
	} else if (x <= 0.062) {
		tmp = (0.5 * x) + ((0.041666666666666664 * Math.pow(x, 3.0)) + ((0.004166666666666667 * Math.pow(x, 5.0)) + (0.00042162698412698415 * Math.pow(x, 7.0))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	return (1.0 - math.cos(x)) / math.sin(x)

↓

def code(x):
	t_0 = 1.0 / (math.sin(x) / (1.0 - math.cos(x)))
	tmp = 0
	if x <= -0.06:
		tmp = t_0
	elif x <= 0.062:
		tmp = (0.5 * x) + ((0.041666666666666664 * math.pow(x, 3.0)) + ((0.004166666666666667 * math.pow(x, 5.0)) + (0.00042162698412698415 * math.pow(x, 7.0))))
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 - cos(x)) / sin(x))
end

↓

function code(x)
	t_0 = Float64(1.0 / Float64(sin(x) / Float64(1.0 - cos(x))))
	tmp = 0.0
	if (x <= -0.06)
		tmp = t_0;
	elseif (x <= 0.062)
		tmp = Float64(Float64(0.5 * x) + Float64(Float64(0.041666666666666664 * (x ^ 3.0)) + Float64(Float64(0.004166666666666667 * (x ^ 5.0)) + Float64(0.00042162698412698415 * (x ^ 7.0)))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 - cos(x)) / sin(x);
end

↓

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = 1.0 / (sin(x) / (1.0 - cos(x)));
	tmp = 0.0;
	if (x <= -0.06)
		tmp = t_0;
	elseif (x <= 0.062)
		tmp = (0.5 * x) + ((0.041666666666666664 * (x ^ 3.0)) + ((0.004166666666666667 * (x ^ 5.0)) + (0.00042162698412698415 * (x ^ 7.0))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 - N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(1.0 / N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / N[(1.0 - N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -0.06], t$95$0, If[LessEqual[x, 0.062], N[(N[(0.5 * x), $MachinePrecision] + N[(N[(0.041666666666666664 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.004166666666666667 * N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.00042162698412698415 * N[Power[x, 7.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]]

Target

Original	30.2
Target	0.0
Herbie	0.5

\[\tan \left(\frac{x}{2}\right) \]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -0.059999999999999998 or 0.062 < x

   1. Initial program 0.9

      \[\frac{1 - \cos x}{\sin x} \]

   2. Applied egg-rr 1.0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 + \left(1 - \frac{\cos x + -1}{\sin x}\right)} \]

   3. Applied egg-rr 1.0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{1 - \cos x}}} \]

   if -0.059999999999999998 < x < 0.062

   1. Initial program 59.8

      \[\frac{1 - \cos x}{\sin x} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 0.0

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot x + \left(0.004166666666666667 \cdot {x}^{5} + \left(0.00042162698412698415 \cdot {x}^{7} + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)\right)} \]

   3. Simplified 0.0

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot x + \left(0.041666666666666664 \cdot {x}^{3} + \left(0.004166666666666667 \cdot {x}^{5} + 0.00042162698412698415 \cdot {x}^{7}\right)\right)} \]
      Proof

      [Start] 0.0	\[ 0.5 \cdot x + \left(0.004166666666666667 \cdot {x}^{5} + \left(0.00042162698412698415 \cdot {x}^{7} + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)\right) \]
      rational.json-simplify-41 [<=] 0.0	\[ 0.5 \cdot x + \color{blue}{\left(0.041666666666666664 \cdot {x}^{3} + \left(0.004166666666666667 \cdot {x}^{5} + 0.00042162698412698415 \cdot {x}^{7}\right)\right)} \]

3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 0.5

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.06:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\sin x}{1 - \cos x}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.062:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot x + \left(0.041666666666666664 \cdot {x}^{3} + \left(0.004166666666666667 \cdot {x}^{5} + 0.00042162698412698415 \cdot {x}^{7}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\sin x}{1 - \cos x}}\\ \end{array} \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.6
Cost	40008

\[\begin{array}{l} t_0 := 1 - \cos x\\ t_1 := \frac{t_0}{\sin x}\\ \mathbf{if}\;t_1 \leq -0.01:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\sin x}{t_0}}\\ \mathbf{elif}\;t_1 \leq 0.004:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot x + \left(0.041666666666666664 \cdot {x}^{3} + 0.004166666666666667 \cdot {x}^{5}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_1\\ \end{array} \]

Alternative 2
Error	0.6
Cost	39496

\[\begin{array}{l} t_0 := 1 - \cos x\\ t_1 := \frac{t_0}{\sin x}\\ \mathbf{if}\;t_1 \leq -0.005:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\sin x}{t_0}}\\ \mathbf{elif}\;t_1 \leq 10^{-6}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot x + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_1\\ \end{array} \]

Alternative 3
Error	0.5
Cost	13384

\[\begin{array}{l} t_0 := \frac{1 - \cos x}{\sin x}\\ \mathbf{if}\;x \leq -0.0045:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.0039:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot x + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \]

Alternative 4
Error	26.0
Cost	6592

\[\sin x \cdot 0.5 \]

Alternative 5
Error	31.0
Cost	704

\[\frac{1}{x \cdot -0.16666666666666666 + 2 \cdot \frac{1}{x}} \]

Alternative 6
Error	31.3
Cost	192

\[0.5 \cdot x \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023074 
(FPCore (x)
  :name "tanhf (example 3.4)"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (tan (/ x 2.0))

  (/ (- 1.0 (cos x)) (sin x)))