Curve intersection, scale width based on ribbon orientation

Average Error: 0.8 → 0.3

Time: 20.9s

Precision: binary32

Cost: 13792

\[\left(\left(\left(0 \leq normAngle \land normAngle \leq \frac{\pi}{2}\right) \land \left(-1 \leq n0_i \land n0_i \leq 1\right)\right) \land \left(-1 \leq n1_i \land n1_i \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u \land u \leq 1\right)\]

Math

\[\left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0_i + \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1_i \]

↓

\[\mathsf{fma}\left(u, n1_i, \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, 0.16666666666666666 \cdot \left(n0_i \cdot \left(\left(1 - {\left(1 - u\right)}^{3}\right) - u\right)\right) + -0.16666666666666666 \cdot \left(n1_i \cdot \left({u}^{3} - u\right)\right), \left(1 - u\right) \cdot n0_i\right)\right) \]

FPCore

(FPCore (normAngle u n0_i n1_i)
 :precision binary32
 (+
  (* (* (sin (* (- 1.0 u) normAngle)) (/ 1.0 (sin normAngle))) n0_i)
  (* (* (sin (* u normAngle)) (/ 1.0 (sin normAngle))) n1_i)))

↓

(FPCore (normAngle u n0_i n1_i)
 :precision binary32
 (fma
  u
  n1_i
  (fma
   (* normAngle normAngle)
   (+
    (* 0.16666666666666666 (* n0_i (- (- 1.0 (pow (- 1.0 u) 3.0)) u)))
    (* -0.16666666666666666 (* n1_i (- (pow u 3.0) u))))
   (* (- 1.0 u) n0_i))))

C

float code(float normAngle, float u, float n0_i, float n1_i) {
	return ((sinf(((1.0f - u) * normAngle)) * (1.0f / sinf(normAngle))) * n0_i) + ((sinf((u * normAngle)) * (1.0f / sinf(normAngle))) * n1_i);
}

↓

float code(float normAngle, float u, float n0_i, float n1_i) {
	return fmaf(u, n1_i, fmaf((normAngle * normAngle), ((0.16666666666666666f * (n0_i * ((1.0f - powf((1.0f - u), 3.0f)) - u))) + (-0.16666666666666666f * (n1_i * (powf(u, 3.0f) - u)))), ((1.0f - u) * n0_i)));
}

Julia

function code(normAngle, u, n0_i, n1_i)
	return Float32(Float32(Float32(sin(Float32(Float32(Float32(1.0) - u) * normAngle)) * Float32(Float32(1.0) / sin(normAngle))) * n0_i) + Float32(Float32(sin(Float32(u * normAngle)) * Float32(Float32(1.0) / sin(normAngle))) * n1_i))
end

↓

function code(normAngle, u, n0_i, n1_i)
	return fma(u, n1_i, fma(Float32(normAngle * normAngle), Float32(Float32(Float32(0.16666666666666666) * Float32(n0_i * Float32(Float32(Float32(1.0) - (Float32(Float32(1.0) - u) ^ Float32(3.0))) - u))) + Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(n1_i * Float32((u ^ Float32(3.0)) - u)))), Float32(Float32(Float32(1.0) - u) * n0_i)))
end

Derivation

1. Initial program 0.8

   \[\left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0_i + \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1_i \]

2. Simplified 0.7

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right)}{\sin normAngle}, n0_i, \frac{\sin \left(u \cdot normAngle\right)}{\sin normAngle} \cdot n1_i\right)} \]
   Proof

   [Start] 0.8	\[ \left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0_i + \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1_i \]
   fma-def [=>] 0.8	\[ \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}, n0_i, \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1_i\right)} \]
   associate-*r/ [=>] 0.8	\[ \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot 1}{\sin normAngle}}, n0_i, \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1_i\right) \]
   *-rgt-identity [=>] 0.8	\[ \mathsf{fma}\left(\frac{\color{blue}{\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right)}}{\sin normAngle}, n0_i, \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1_i\right) \]
   associate-*r/ [=>] 0.7	\[ \mathsf{fma}\left(\frac{\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right)}{\sin normAngle}, n0_i, \color{blue}{\frac{\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot 1}{\sin normAngle}} \cdot n1_i\right) \]
   *-rgt-identity [=>] 0.7	\[ \mathsf{fma}\left(\frac{\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right)}{\sin normAngle}, n0_i, \frac{\color{blue}{\sin \left(u \cdot normAngle\right)}}{\sin normAngle} \cdot n1_i\right) \]

3. Taylor expanded in normAngle around 0 0.3

   \[\leadsto \color{blue}{n1_i \cdot u + \left(\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(n1_i \cdot {u}^{3}\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot {\left(1 - u\right)}^{3} - -0.16666666666666666 \cdot \left(1 - u\right)\right) \cdot n0_i\right) - -0.16666666666666666 \cdot \left(n1_i \cdot u\right)\right) \cdot {normAngle}^{2} + \left(1 - u\right) \cdot n0_i\right)} \]

4. Simplified 0.3

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u, n1_i, \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, -0.16666666666666666 \cdot \left(\left(\left({\left(1 - u\right)}^{3} - 1\right) + u\right) \cdot n0_i\right) + -0.16666666666666666 \cdot \left(n1_i \cdot \left({u}^{3} - u\right)\right), \left(1 - u\right) \cdot n0_i\right)\right)} \]
   Proof

   [Start] 0.3	\[ n1_i \cdot u + \left(\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(n1_i \cdot {u}^{3}\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot {\left(1 - u\right)}^{3} - -0.16666666666666666 \cdot \left(1 - u\right)\right) \cdot n0_i\right) - -0.16666666666666666 \cdot \left(n1_i \cdot u\right)\right) \cdot {normAngle}^{2} + \left(1 - u\right) \cdot n0_i\right) \]
   *-commutative [=>] 0.3	\[ \color{blue}{u \cdot n1_i} + \left(\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(n1_i \cdot {u}^{3}\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot {\left(1 - u\right)}^{3} - -0.16666666666666666 \cdot \left(1 - u\right)\right) \cdot n0_i\right) - -0.16666666666666666 \cdot \left(n1_i \cdot u\right)\right) \cdot {normAngle}^{2} + \left(1 - u\right) \cdot n0_i\right) \]
   fma-def [=>] 0.3	\[ \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u, n1_i, \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(n1_i \cdot {u}^{3}\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot {\left(1 - u\right)}^{3} - -0.16666666666666666 \cdot \left(1 - u\right)\right) \cdot n0_i\right) - -0.16666666666666666 \cdot \left(n1_i \cdot u\right)\right) \cdot {normAngle}^{2} + \left(1 - u\right) \cdot n0_i\right)} \]
   *-commutative [=>] 0.3	\[ \mathsf{fma}\left(u, n1_i, \color{blue}{{normAngle}^{2} \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(n1_i \cdot {u}^{3}\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot {\left(1 - u\right)}^{3} - -0.16666666666666666 \cdot \left(1 - u\right)\right) \cdot n0_i\right) - -0.16666666666666666 \cdot \left(n1_i \cdot u\right)\right)} + \left(1 - u\right) \cdot n0_i\right) \]
   fma-def [=>] 0.3	\[ \mathsf{fma}\left(u, n1_i, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({normAngle}^{2}, \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(n1_i \cdot {u}^{3}\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot {\left(1 - u\right)}^{3} - -0.16666666666666666 \cdot \left(1 - u\right)\right) \cdot n0_i\right) - -0.16666666666666666 \cdot \left(n1_i \cdot u\right), \left(1 - u\right) \cdot n0_i\right)}\right) \]

5. Final simplification 0.3

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(u, n1_i, \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, 0.16666666666666666 \cdot \left(n0_i \cdot \left(\left(1 - {\left(1 - u\right)}^{3}\right) - u\right)\right) + -0.16666666666666666 \cdot \left(n1_i \cdot \left({u}^{3} - u\right)\right), \left(1 - u\right) \cdot n0_i\right)\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.3
Cost	3552

\[n0_i + u \cdot \left(n1_i \cdot \frac{normAngle}{\sin normAngle} - n0_i\right) \]

Alternative 2
Error	0.6
Cost	3424

\[\mathsf{fma}\left(n0_i, 1 - u, u \cdot n1_i\right) \]

Alternative 3
Error	0.6
Cost	3424

\[\mathsf{fma}\left(u, n1_i, \left(1 - u\right) \cdot n0_i\right) \]

Alternative 4
Error	9.0
Cost	297

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;n0_i \leq -2.0000000544904023 \cdot 10^{-27} \lor \neg \left(n0_i \leq 2.3500000705743845 \cdot 10^{-23}\right):\\ \;\;\;\;\left(1 - u\right) \cdot n0_i\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;u \cdot n1_i\\ \end{array} \]

Alternative 5
Error	4.3
Cost	297

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;n1_i \leq -3.000000058624444 \cdot 10^{-25} \lor \neg \left(n1_i \leq 2.0000000390829628 \cdot 10^{-25}\right):\\ \;\;\;\;n0_i + u \cdot n1_i\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 - u\right) \cdot n0_i\\ \end{array} \]

Alternative 6
Error	4.2
Cost	297

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;n1_i \leq -3.000000058624444 \cdot 10^{-25} \lor \neg \left(n1_i \leq 2.0000000390829628 \cdot 10^{-25}\right):\\ \;\;\;\;n0_i + u \cdot n1_i\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;n0_i - u \cdot n0_i\\ \end{array} \]

Alternative 7
Error	12.4
Cost	232

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;n0_i \leq -4.0000001089808046 \cdot 10^{-27}:\\ \;\;\;\;n0_i\\ \mathbf{elif}\;n0_i \leq 5.999999809593135 \cdot 10^{-21}:\\ \;\;\;\;u \cdot n1_i\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;n0_i\\ \end{array} \]

Alternative 8
Error	0.5
Cost	224

\[n0_i + u \cdot \left(n1_i - n0_i\right) \]

Alternative 9
Error	16.7
Cost	32

\[n0_i \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023073 
(FPCore (normAngle u n0_i n1_i)
  :name "Curve intersection, scale width based on ribbon orientation"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (<= 0.0 normAngle) (<= normAngle (/ PI 2.0))) (and (<= -1.0 n0_i) (<= n0_i 1.0))) (and (<= -1.0 n1_i) (<= n1_i 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 u) (<= u 1.0)))
  (+ (* (* (sin (* (- 1.0 u) normAngle)) (/ 1.0 (sin normAngle))) n0_i) (* (* (sin (* u normAngle)) (/ 1.0 (sin normAngle))) n1_i)))