2sin (example 3.3)

Average Error: 37.4 → 14.0

Time: 27.5s

Precision: binary64

Cost: 40072

Math

\[\sin \left(x + \varepsilon\right) - \sin x \]

↓

\[\begin{array}{l} t_0 := \sin \varepsilon - \sin x\\ \mathbf{if}\;\varepsilon \leq -40:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;\varepsilon \leq 1.8 \cdot 10^{-9}:\\ \;\;\;\;\varepsilon \cdot \cos x + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot {\varepsilon}^{3}\right) + \sin x \cdot \left(0.041666666666666664 \cdot {\varepsilon}^{4} + -0.5 \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (- (sin (+ x eps)) (sin x)))

↓

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (sin eps) (sin x))))
   (if (<= eps -40.0)
     t_0
     (if (<= eps 1.8e-9)
       (+
        (* eps (cos x))
        (+
         (* -0.16666666666666666 (* (cos x) (pow eps 3.0)))
         (*
          (sin x)
          (+ (* 0.041666666666666664 (pow eps 4.0)) (* -0.5 (pow eps 2.0))))))
       t_0))))

C

double code(double x, double eps) {
	return sin((x + eps)) - sin(x);
}

↓

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = sin(eps) - sin(x);
	double tmp;
	if (eps <= -40.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (eps <= 1.8e-9) {
		tmp = (eps * cos(x)) + ((-0.16666666666666666 * (cos(x) * pow(eps, 3.0))) + (sin(x) * ((0.041666666666666664 * pow(eps, 4.0)) + (-0.5 * pow(eps, 2.0)))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = sin((x + eps)) - sin(x)
end function

↓

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin(eps) - sin(x)
    if (eps <= (-40.0d0)) then
        tmp = t_0
    else if (eps <= 1.8d-9) then
        tmp = (eps * cos(x)) + (((-0.16666666666666666d0) * (cos(x) * (eps ** 3.0d0))) + (sin(x) * ((0.041666666666666664d0 * (eps ** 4.0d0)) + ((-0.5d0) * (eps ** 2.0d0)))))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.sin((x + eps)) - Math.sin(x);
}

↓

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = Math.sin(eps) - Math.sin(x);
	double tmp;
	if (eps <= -40.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (eps <= 1.8e-9) {
		tmp = (eps * Math.cos(x)) + ((-0.16666666666666666 * (Math.cos(x) * Math.pow(eps, 3.0))) + (Math.sin(x) * ((0.041666666666666664 * Math.pow(eps, 4.0)) + (-0.5 * Math.pow(eps, 2.0)))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x, eps):
	return math.sin((x + eps)) - math.sin(x)

↓

def code(x, eps):
	t_0 = math.sin(eps) - math.sin(x)
	tmp = 0
	if eps <= -40.0:
		tmp = t_0
	elif eps <= 1.8e-9:
		tmp = (eps * math.cos(x)) + ((-0.16666666666666666 * (math.cos(x) * math.pow(eps, 3.0))) + (math.sin(x) * ((0.041666666666666664 * math.pow(eps, 4.0)) + (-0.5 * math.pow(eps, 2.0)))))
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(sin(Float64(x + eps)) - sin(x))
end

↓

function code(x, eps)
	t_0 = Float64(sin(eps) - sin(x))
	tmp = 0.0
	if (eps <= -40.0)
		tmp = t_0;
	elseif (eps <= 1.8e-9)
		tmp = Float64(Float64(eps * cos(x)) + Float64(Float64(-0.16666666666666666 * Float64(cos(x) * (eps ^ 3.0))) + Float64(sin(x) * Float64(Float64(0.041666666666666664 * (eps ^ 4.0)) + Float64(-0.5 * (eps ^ 2.0))))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = sin((x + eps)) - sin(x);
end

↓

function tmp_2 = code(x, eps)
	t_0 = sin(eps) - sin(x);
	tmp = 0.0;
	if (eps <= -40.0)
		tmp = t_0;
	elseif (eps <= 1.8e-9)
		tmp = (eps * cos(x)) + ((-0.16666666666666666 * (cos(x) * (eps ^ 3.0))) + (sin(x) * ((0.041666666666666664 * (eps ^ 4.0)) + (-0.5 * (eps ^ 2.0)))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Sin[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sin[eps], $MachinePrecision] - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[eps, -40.0], t$95$0, If[LessEqual[eps, 1.8e-9], N[(N[(eps * N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.16666666666666666 * N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[Power[eps, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[(0.041666666666666664 * N[Power[eps, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.5 * N[Power[eps, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]]

Target

Original	37.4
Target	14.5
Herbie	14.0

\[2 \cdot \left(\cos \left(x + \frac{\varepsilon}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\varepsilon}{2}\right)\right) \]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if eps < -40 or 1.8e-9 < eps

   1. Initial program 29.3

      \[\sin \left(x + \varepsilon\right) - \sin x \]

   2. Taylor expanded in x around 0 28.0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \varepsilon} - \sin x \]

   if -40 < eps < 1.8e-9

   1. Initial program 45.3

      \[\sin \left(x + \varepsilon\right) - \sin x \]

   2. Applied egg-rr 60.0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin \left(x + \varepsilon\right) + \left(1 - \sin x\right)\right) + -1} \]

   3. Taylor expanded in eps around 0 0.3

      \[\leadsto \color{blue}{0.041666666666666664 \cdot \left({\varepsilon}^{4} \cdot \sin x\right) + \left(\cos x \cdot \varepsilon + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({\varepsilon}^{3} \cdot \cos x\right) + -0.5 \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot \sin x\right)\right)\right)} \]

   4. Simplified 0.3

      \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \cos x + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot {\varepsilon}^{3}\right) + \sin x \cdot \left(0.041666666666666664 \cdot {\varepsilon}^{4} + -0.5 \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)} \]
      Proof

      [Start] 0.3	\[ 0.041666666666666664 \cdot \left({\varepsilon}^{4} \cdot \sin x\right) + \left(\cos x \cdot \varepsilon + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({\varepsilon}^{3} \cdot \cos x\right) + -0.5 \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot \sin x\right)\right)\right) \]
      rational.json-simplify-41 [=>] 0.3	\[ \color{blue}{\cos x \cdot \varepsilon + \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({\varepsilon}^{3} \cdot \cos x\right) + -0.5 \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot \sin x\right)\right) + 0.041666666666666664 \cdot \left({\varepsilon}^{4} \cdot \sin x\right)\right)} \]
      rational.json-simplify-2 [=>] 0.3	\[ \color{blue}{\varepsilon \cdot \cos x} + \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({\varepsilon}^{3} \cdot \cos x\right) + -0.5 \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot \sin x\right)\right) + 0.041666666666666664 \cdot \left({\varepsilon}^{4} \cdot \sin x\right)\right) \]
      rational.json-simplify-1 [=>] 0.3	\[ \varepsilon \cdot \cos x + \color{blue}{\left(0.041666666666666664 \cdot \left({\varepsilon}^{4} \cdot \sin x\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left({\varepsilon}^{3} \cdot \cos x\right) + -0.5 \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot \sin x\right)\right)\right)} \]
      rational.json-simplify-41 [=>] 0.3	\[ \varepsilon \cdot \cos x + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({\varepsilon}^{3} \cdot \cos x\right) + \left(-0.5 \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot \sin x\right) + 0.041666666666666664 \cdot \left({\varepsilon}^{4} \cdot \sin x\right)\right)\right)} \]
      rational.json-simplify-2 [=>] 0.3	\[ \varepsilon \cdot \cos x + \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(\cos x \cdot {\varepsilon}^{3}\right)} + \left(-0.5 \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot \sin x\right) + 0.041666666666666664 \cdot \left({\varepsilon}^{4} \cdot \sin x\right)\right)\right) \]
      rational.json-simplify-2 [=>] 0.3	\[ \varepsilon \cdot \cos x + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot {\varepsilon}^{3}\right) + \left(-0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sin x \cdot {\varepsilon}^{2}\right)} + 0.041666666666666664 \cdot \left({\varepsilon}^{4} \cdot \sin x\right)\right)\right) \]
      rational.json-simplify-43 [=>] 0.3	\[ \varepsilon \cdot \cos x + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot {\varepsilon}^{3}\right) + \left(\color{blue}{\sin x \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot -0.5\right)} + 0.041666666666666664 \cdot \left({\varepsilon}^{4} \cdot \sin x\right)\right)\right) \]
      rational.json-simplify-2 [=>] 0.3	\[ \varepsilon \cdot \cos x + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot {\varepsilon}^{3}\right) + \left(\sin x \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot -0.5\right) + 0.041666666666666664 \cdot \color{blue}{\left(\sin x \cdot {\varepsilon}^{4}\right)}\right)\right) \]
      rational.json-simplify-43 [=>] 0.3	\[ \varepsilon \cdot \cos x + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot {\varepsilon}^{3}\right) + \left(\sin x \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot -0.5\right) + \color{blue}{\sin x \cdot \left({\varepsilon}^{4} \cdot 0.041666666666666664\right)}\right)\right) \]
      rational.json-simplify-2 [=>] 0.3	\[ \varepsilon \cdot \cos x + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot {\varepsilon}^{3}\right) + \left(\sin x \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot -0.5\right) + \color{blue}{\left({\varepsilon}^{4} \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \sin x}\right)\right) \]
      rational.json-simplify-51 [=>] 0.3	\[ \varepsilon \cdot \cos x + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot {\varepsilon}^{3}\right) + \color{blue}{\sin x \cdot \left({\varepsilon}^{4} \cdot 0.041666666666666664 + {\varepsilon}^{2} \cdot -0.5\right)}\right) \]
      rational.json-simplify-2 [=>] 0.3	\[ \varepsilon \cdot \cos x + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot {\varepsilon}^{3}\right) + \sin x \cdot \left(\color{blue}{0.041666666666666664 \cdot {\varepsilon}^{4}} + {\varepsilon}^{2} \cdot -0.5\right)\right) \]
      rational.json-simplify-2 [=>] 0.3	\[ \varepsilon \cdot \cos x + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot {\varepsilon}^{3}\right) + \sin x \cdot \left(0.041666666666666664 \cdot {\varepsilon}^{4} + \color{blue}{-0.5 \cdot {\varepsilon}^{2}}\right)\right) \]

3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 14.0

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\varepsilon \leq -40:\\ \;\;\;\;\sin \varepsilon - \sin x\\ \mathbf{elif}\;\varepsilon \leq 1.8 \cdot 10^{-9}:\\ \;\;\;\;\varepsilon \cdot \cos x + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot {\varepsilon}^{3}\right) + \sin x \cdot \left(0.041666666666666664 \cdot {\varepsilon}^{4} + -0.5 \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \varepsilon - \sin x\\ \end{array} \]

Alternatives

Alternative 1
Error	14.0
Cost	40072

\[\begin{array}{l} t_0 := \sin \varepsilon - \sin x\\ \mathbf{if}\;\varepsilon \leq -40:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;\varepsilon \leq 1.8 \cdot 10^{-9}:\\ \;\;\;\;-0.5 \cdot \left(\sin x \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + \left(\sin x \cdot \left(0.041666666666666664 \cdot {\varepsilon}^{4}\right) + \cos x \cdot \left(\varepsilon + -0.16666666666666666 \cdot {\varepsilon}^{3}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \]

Alternative 2
Error	14.0
Cost	26824

\[\begin{array}{l} t_0 := \sin \varepsilon - \sin x\\ \mathbf{if}\;\varepsilon \leq -0.245:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;\varepsilon \leq 1.8 \cdot 10^{-9}:\\ \;\;\;\;-0.5 \cdot \left(\sin x \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + \cos x \cdot \left(\varepsilon + -0.16666666666666666 \cdot {\varepsilon}^{3}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \]

Alternative 3
Error	14.1
Cost	20104

\[\begin{array}{l} t_0 := \sin \varepsilon - \sin x\\ \mathbf{if}\;\varepsilon \leq -0.245:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;\varepsilon \leq 1.8 \cdot 10^{-9}:\\ \;\;\;\;\cos x \cdot \varepsilon + -0.5 \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot \sin x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \]

Alternative 4
Error	14.3
Cost	13256

\[\begin{array}{l} t_0 := \sin \varepsilon - \sin x\\ \mathbf{if}\;\varepsilon \leq -40:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;\varepsilon \leq 1.8 \cdot 10^{-9}:\\ \;\;\;\;\cos x \cdot \varepsilon\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \]

Alternative 5
Error	14.7
Cost	6856

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\varepsilon \leq -40:\\ \;\;\;\;\sin \varepsilon\\ \mathbf{elif}\;\varepsilon \leq 1.8 \cdot 10^{-9}:\\ \;\;\;\;\cos x \cdot \varepsilon\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \varepsilon\\ \end{array} \]

Alternative 6
Error	28.9
Cost	6464

\[\sin \varepsilon \]

Alternative 7
Error	45.4
Cost	64

\[\varepsilon \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023073 
(FPCore (x eps)
  :name "2sin (example 3.3)"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (* 2.0 (* (cos (+ x (/ eps 2.0))) (sin (/ eps 2.0))))

  (- (sin (+ x eps)) (sin x)))