expm1 (example 3.7)

Average Error: 58.6 → 0.4

Time: 15.6s

Precision: binary64

Cost: 20224

\[-0.00017 < x\]

Math

\[e^{x} - 1 \]

↓

\[0.5 \cdot {x}^{2} + \left(\left(x + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right) + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{4}\right) \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (exp x) 1.0))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* 0.5 (pow x 2.0))
  (+
   (+ x (* 0.16666666666666666 (pow x 3.0)))
   (* 0.041666666666666664 (pow x 4.0)))))

C

double code(double x) {
	return exp(x) - 1.0;
}

↓

double code(double x) {
	return (0.5 * pow(x, 2.0)) + ((x + (0.16666666666666666 * pow(x, 3.0))) + (0.041666666666666664 * pow(x, 4.0)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = exp(x) - 1.0d0
end function

↓

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (0.5d0 * (x ** 2.0d0)) + ((x + (0.16666666666666666d0 * (x ** 3.0d0))) + (0.041666666666666664d0 * (x ** 4.0d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.exp(x) - 1.0;
}

↓

public static double code(double x) {
	return (0.5 * Math.pow(x, 2.0)) + ((x + (0.16666666666666666 * Math.pow(x, 3.0))) + (0.041666666666666664 * Math.pow(x, 4.0)));
}

Python

def code(x):
	return math.exp(x) - 1.0

↓

def code(x):
	return (0.5 * math.pow(x, 2.0)) + ((x + (0.16666666666666666 * math.pow(x, 3.0))) + (0.041666666666666664 * math.pow(x, 4.0)))

Julia

function code(x)
	return Float64(exp(x) - 1.0)
end

↓

function code(x)
	return Float64(Float64(0.5 * (x ^ 2.0)) + Float64(Float64(x + Float64(0.16666666666666666 * (x ^ 3.0))) + Float64(0.041666666666666664 * (x ^ 4.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = exp(x) - 1.0;
end

↓

function tmp = code(x)
	tmp = (0.5 * (x ^ 2.0)) + ((x + (0.16666666666666666 * (x ^ 3.0))) + (0.041666666666666664 * (x ^ 4.0)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - 1.0), $MachinePrecision]

↓

code[x_] := N[(N[(0.5 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(x + N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.041666666666666664 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Target

Original	58.6
Target	0.5
Herbie	0.4

\[x \cdot \left(\left(1 + \frac{x}{2}\right) + \frac{x \cdot x}{6}\right) \]

Derivation

1. Initial program 58.6

   \[e^{x} - 1 \]

2. Taylor expanded in x around 0 0.4

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + \left(0.5 \cdot {x}^{2} + \left(0.041666666666666664 \cdot {x}^{4} + x\right)\right)} \]

3. Simplified 0.4

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot {x}^{2} + \left(\left(x + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right) + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{4}\right)} \]
   Proof

   [Start] 0.4	\[ 0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + \left(0.5 \cdot {x}^{2} + \left(0.041666666666666664 \cdot {x}^{4} + x\right)\right) \]
   rational.json-simplify-41 [=>] 0.4	\[ \color{blue}{0.5 \cdot {x}^{2} + \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {x}^{4} + x\right) + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)} \]
   rational.json-simplify-1 [=>] 0.4	\[ 0.5 \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + \left(0.041666666666666664 \cdot {x}^{4} + x\right)\right)} \]
   rational.json-simplify-41 [=>] 0.4	\[ 0.5 \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\left(0.041666666666666664 \cdot {x}^{4} + \left(x + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right)} \]
   rational.json-simplify-1 [=>] 0.4	\[ 0.5 \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\left(\left(x + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right) + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{4}\right)} \]

4. Final simplification 0.4

   \[\leadsto 0.5 \cdot {x}^{2} + \left(\left(x + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right) + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{4}\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.5
Cost	13504

\[0.5 \cdot {x}^{2} + \left(x + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right) \]

Alternative 2
Error	0.8
Cost	13124

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{x} \leq 1.0001:\\ \;\;\;\;x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{x} - 1\\ \end{array} \]

Alternative 3
Error	0.7
Cost	6784

\[0.5 \cdot {x}^{2} + x \]

Alternative 4
Error	1.4
Cost	64

\[x \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023073 
(FPCore (x)
  :name "expm1 (example 3.7)"
  :precision binary64
  :pre (< -0.00017 x)

  :herbie-target
  (* x (+ (+ 1.0 (/ x 2.0)) (/ (* x x) 6.0)))

  (- (exp x) 1.0))