VandenBroeck and Keller, Equation (6)

Average Error: 16.8 → 2.3

Time: 18.8s

Precision: binary64

Cost: 229504

Math

\[\pi \cdot \ell - \frac{1}{F \cdot F} \cdot \tan \left(\pi \cdot \ell\right) \]

↓

\[\begin{array}{l} t_0 := {\pi}^{5} \cdot 0.13333333333333333\\ \pi \cdot \ell - \frac{1}{F \cdot \left(\frac{\frac{F}{\ell}}{\pi} + -1 \cdot \left(\ell \cdot \left(\left({\pi}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \frac{F}{{\pi}^{2}}\right) + \left({\ell}^{3} \cdot \left(\left({\left({\pi}^{3}\right)}^{2} \cdot 0.1111111111111111\right) \cdot \left(-\frac{F}{{\pi}^{3}}\right) + F \cdot \frac{0.008333333333333333 \cdot {\pi}^{5} - \left({\pi}^{5} \cdot 0.041666666666666664 + {\pi}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {\pi}^{3}\right)\right)}{{\pi}^{2}}\right) + \left(0.3333333333333333 \cdot \left(-\left(t_0 + {\pi}^{2} \cdot \left({\pi}^{3} \cdot 0.022222222222222223\right)\right)\right) + \left({\pi}^{5} \cdot -0.0001984126984126984 - \left(t_0 \cdot -0.5 + {\pi}^{5} \cdot 0.0125\right)\right)\right) \cdot \left(F \cdot {\ell}^{5}\right)\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (F l)
 :precision binary64
 (- (* PI l) (* (/ 1.0 (* F F)) (tan (* PI l)))))

↓

(FPCore (F l)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (pow PI 5.0) 0.13333333333333333)))
   (-
    (* PI l)
    (/
     1.0
     (*
      F
      (+
       (/ (/ F l) PI)
       (*
        -1.0
        (+
         (* l (* (* (pow PI 3.0) 0.3333333333333333) (/ F (pow PI 2.0))))
         (+
          (*
           (pow l 3.0)
           (+
            (*
             (* (pow (pow PI 3.0) 2.0) 0.1111111111111111)
             (- (/ F (pow PI 3.0))))
            (*
             F
             (/
              (-
               (* 0.008333333333333333 (pow PI 5.0))
               (+
                (* (pow PI 5.0) 0.041666666666666664)
                (* (pow PI 2.0) (* -0.16666666666666666 (pow PI 3.0)))))
              (pow PI 2.0)))))
          (*
           (+
            (*
             0.3333333333333333
             (-
              (+ t_0 (* (pow PI 2.0) (* (pow PI 3.0) 0.022222222222222223)))))
            (-
             (* (pow PI 5.0) -0.0001984126984126984)
             (+ (* t_0 -0.5) (* (pow PI 5.0) 0.0125))))
           (* F (pow l 5.0))))))))))))

C

double code(double F, double l) {
	return (((double) M_PI) * l) - ((1.0 / (F * F)) * tan((((double) M_PI) * l)));
}

↓

double code(double F, double l) {
	double t_0 = pow(((double) M_PI), 5.0) * 0.13333333333333333;
	return (((double) M_PI) * l) - (1.0 / (F * (((F / l) / ((double) M_PI)) + (-1.0 * ((l * ((pow(((double) M_PI), 3.0) * 0.3333333333333333) * (F / pow(((double) M_PI), 2.0)))) + ((pow(l, 3.0) * (((pow(pow(((double) M_PI), 3.0), 2.0) * 0.1111111111111111) * -(F / pow(((double) M_PI), 3.0))) + (F * (((0.008333333333333333 * pow(((double) M_PI), 5.0)) - ((pow(((double) M_PI), 5.0) * 0.041666666666666664) + (pow(((double) M_PI), 2.0) * (-0.16666666666666666 * pow(((double) M_PI), 3.0))))) / pow(((double) M_PI), 2.0))))) + (((0.3333333333333333 * -(t_0 + (pow(((double) M_PI), 2.0) * (pow(((double) M_PI), 3.0) * 0.022222222222222223)))) + ((pow(((double) M_PI), 5.0) * -0.0001984126984126984) - ((t_0 * -0.5) + (pow(((double) M_PI), 5.0) * 0.0125)))) * (F * pow(l, 5.0)))))))));
}

Java

public static double code(double F, double l) {
	return (Math.PI * l) - ((1.0 / (F * F)) * Math.tan((Math.PI * l)));
}

↓

public static double code(double F, double l) {
	double t_0 = Math.pow(Math.PI, 5.0) * 0.13333333333333333;
	return (Math.PI * l) - (1.0 / (F * (((F / l) / Math.PI) + (-1.0 * ((l * ((Math.pow(Math.PI, 3.0) * 0.3333333333333333) * (F / Math.pow(Math.PI, 2.0)))) + ((Math.pow(l, 3.0) * (((Math.pow(Math.pow(Math.PI, 3.0), 2.0) * 0.1111111111111111) * -(F / Math.pow(Math.PI, 3.0))) + (F * (((0.008333333333333333 * Math.pow(Math.PI, 5.0)) - ((Math.pow(Math.PI, 5.0) * 0.041666666666666664) + (Math.pow(Math.PI, 2.0) * (-0.16666666666666666 * Math.pow(Math.PI, 3.0))))) / Math.pow(Math.PI, 2.0))))) + (((0.3333333333333333 * -(t_0 + (Math.pow(Math.PI, 2.0) * (Math.pow(Math.PI, 3.0) * 0.022222222222222223)))) + ((Math.pow(Math.PI, 5.0) * -0.0001984126984126984) - ((t_0 * -0.5) + (Math.pow(Math.PI, 5.0) * 0.0125)))) * (F * Math.pow(l, 5.0)))))))));
}

Python

def code(F, l):
	return (math.pi * l) - ((1.0 / (F * F)) * math.tan((math.pi * l)))

↓

def code(F, l):
	t_0 = math.pow(math.pi, 5.0) * 0.13333333333333333
	return (math.pi * l) - (1.0 / (F * (((F / l) / math.pi) + (-1.0 * ((l * ((math.pow(math.pi, 3.0) * 0.3333333333333333) * (F / math.pow(math.pi, 2.0)))) + ((math.pow(l, 3.0) * (((math.pow(math.pow(math.pi, 3.0), 2.0) * 0.1111111111111111) * -(F / math.pow(math.pi, 3.0))) + (F * (((0.008333333333333333 * math.pow(math.pi, 5.0)) - ((math.pow(math.pi, 5.0) * 0.041666666666666664) + (math.pow(math.pi, 2.0) * (-0.16666666666666666 * math.pow(math.pi, 3.0))))) / math.pow(math.pi, 2.0))))) + (((0.3333333333333333 * -(t_0 + (math.pow(math.pi, 2.0) * (math.pow(math.pi, 3.0) * 0.022222222222222223)))) + ((math.pow(math.pi, 5.0) * -0.0001984126984126984) - ((t_0 * -0.5) + (math.pow(math.pi, 5.0) * 0.0125)))) * (F * math.pow(l, 5.0)))))))))

Julia

function code(F, l)
	return Float64(Float64(pi * l) - Float64(Float64(1.0 / Float64(F * F)) * tan(Float64(pi * l))))
end

↓

function code(F, l)
	t_0 = Float64((pi ^ 5.0) * 0.13333333333333333)
	return Float64(Float64(pi * l) - Float64(1.0 / Float64(F * Float64(Float64(Float64(F / l) / pi) + Float64(-1.0 * Float64(Float64(l * Float64(Float64((pi ^ 3.0) * 0.3333333333333333) * Float64(F / (pi ^ 2.0)))) + Float64(Float64((l ^ 3.0) * Float64(Float64(Float64(((pi ^ 3.0) ^ 2.0) * 0.1111111111111111) * Float64(-Float64(F / (pi ^ 3.0)))) + Float64(F * Float64(Float64(Float64(0.008333333333333333 * (pi ^ 5.0)) - Float64(Float64((pi ^ 5.0) * 0.041666666666666664) + Float64((pi ^ 2.0) * Float64(-0.16666666666666666 * (pi ^ 3.0))))) / (pi ^ 2.0))))) + Float64(Float64(Float64(0.3333333333333333 * Float64(-Float64(t_0 + Float64((pi ^ 2.0) * Float64((pi ^ 3.0) * 0.022222222222222223))))) + Float64(Float64((pi ^ 5.0) * -0.0001984126984126984) - Float64(Float64(t_0 * -0.5) + Float64((pi ^ 5.0) * 0.0125)))) * Float64(F * (l ^ 5.0))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(F, l)
	tmp = (pi * l) - ((1.0 / (F * F)) * tan((pi * l)));
end

↓

function tmp = code(F, l)
	t_0 = (pi ^ 5.0) * 0.13333333333333333;
	tmp = (pi * l) - (1.0 / (F * (((F / l) / pi) + (-1.0 * ((l * (((pi ^ 3.0) * 0.3333333333333333) * (F / (pi ^ 2.0)))) + (((l ^ 3.0) * (((((pi ^ 3.0) ^ 2.0) * 0.1111111111111111) * -(F / (pi ^ 3.0))) + (F * (((0.008333333333333333 * (pi ^ 5.0)) - (((pi ^ 5.0) * 0.041666666666666664) + ((pi ^ 2.0) * (-0.16666666666666666 * (pi ^ 3.0))))) / (pi ^ 2.0))))) + (((0.3333333333333333 * -(t_0 + ((pi ^ 2.0) * ((pi ^ 3.0) * 0.022222222222222223)))) + (((pi ^ 5.0) * -0.0001984126984126984) - ((t_0 * -0.5) + ((pi ^ 5.0) * 0.0125)))) * (F * (l ^ 5.0)))))))));
end

Wolfram

code[F_, l_] := N[(N[(Pi * l), $MachinePrecision] - N[(N[(1.0 / N[(F * F), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Tan[N[(Pi * l), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[F_, l_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Power[Pi, 5.0], $MachinePrecision] * 0.13333333333333333), $MachinePrecision]}, N[(N[(Pi * l), $MachinePrecision] - N[(1.0 / N[(F * N[(N[(N[(F / l), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision] + N[(-1.0 * N[(N[(l * N[(N[(N[Power[Pi, 3.0], $MachinePrecision] * 0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(F / N[Power[Pi, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Power[l, 3.0], $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[Power[N[Power[Pi, 3.0], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] * 0.1111111111111111), $MachinePrecision] * (-N[(F / N[Power[Pi, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision])), $MachinePrecision] + N[(F * N[(N[(N[(0.008333333333333333 * N[Power[Pi, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[Power[Pi, 5.0], $MachinePrecision] * 0.041666666666666664), $MachinePrecision] + N[(N[Power[Pi, 2.0], $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 * N[Power[Pi, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Power[Pi, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(0.3333333333333333 * (-N[(t$95$0 + N[(N[Power[Pi, 2.0], $MachinePrecision] * N[(N[Power[Pi, 3.0], $MachinePrecision] * 0.022222222222222223), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision])), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Power[Pi, 5.0], $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision] - N[(N[(t$95$0 * -0.5), $MachinePrecision] + N[(N[Power[Pi, 5.0], $MachinePrecision] * 0.0125), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(F * N[Power[l, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 16.8

   \[\pi \cdot \ell - \frac{1}{F \cdot F} \cdot \tan \left(\pi \cdot \ell\right) \]

2. Applied egg-rr 12.5

   \[\leadsto \pi \cdot \ell - \color{blue}{\frac{1}{F \cdot \frac{F}{\tan \left(\pi \cdot \ell\right)}}} \]

3. Taylor expanded in l around 0 2.6

   \[\leadsto \pi \cdot \ell - \frac{1}{F \cdot \color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{F \cdot \left(\ell \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {\pi}^{3} - -0.5 \cdot {\pi}^{3}\right)\right)}{{\pi}^{2}} + \left(\frac{F}{\ell \cdot \pi} + \left(-1 \cdot \left(\left(\frac{\left(-0.0001984126984126984 \cdot {\pi}^{7} - \left(0.041666666666666664 \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {\pi}^{3} - -0.5 \cdot {\pi}^{3}\right) \cdot {\pi}^{4}\right) + \left(-0.001388888888888889 \cdot {\pi}^{7} + -0.5 \cdot \left(\left(0.008333333333333333 \cdot {\pi}^{5} - \left(0.041666666666666664 \cdot {\pi}^{5} + -0.5 \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {\pi}^{3} - -0.5 \cdot {\pi}^{3}\right) \cdot {\pi}^{2}\right)\right)\right) \cdot {\pi}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot F}{{\pi}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{\left(-0.16666666666666666 \cdot {\pi}^{3} - -0.5 \cdot {\pi}^{3}\right) \cdot \left(-1 \cdot \frac{F \cdot {\left(-0.16666666666666666 \cdot {\pi}^{3} - -0.5 \cdot {\pi}^{3}\right)}^{2}}{{\pi}^{3}} + \frac{F \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot {\pi}^{5} - \left(0.041666666666666664 \cdot {\pi}^{5} + -0.5 \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {\pi}^{3} - -0.5 \cdot {\pi}^{3}\right) \cdot {\pi}^{2}\right)\right)\right)}{{\pi}^{2}}\right)}{\pi} + -1 \cdot \frac{F \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {\pi}^{3} - -0.5 \cdot {\pi}^{3}\right) \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot {\pi}^{5} - \left(0.041666666666666664 \cdot {\pi}^{5} + -0.5 \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {\pi}^{3} - -0.5 \cdot {\pi}^{3}\right) \cdot {\pi}^{2}\right)\right)\right)\right)}{{\pi}^{3}}\right)\right) \cdot {\ell}^{5}\right) + -1 \cdot \left({\ell}^{3} \cdot \left(-1 \cdot \frac{F \cdot {\left(-0.16666666666666666 \cdot {\pi}^{3} - -0.5 \cdot {\pi}^{3}\right)}^{2}}{{\pi}^{3}} + \frac{F \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot {\pi}^{5} - \left(0.041666666666666664 \cdot {\pi}^{5} + -0.5 \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {\pi}^{3} - -0.5 \cdot {\pi}^{3}\right) \cdot {\pi}^{2}\right)\right)\right)}{{\pi}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)}} \]

4. Simplified 2.4

   \[\leadsto \pi \cdot \ell - \frac{1}{F \cdot \color{blue}{\left(\frac{\frac{F}{\ell}}{\pi} + -1 \cdot \left(\ell \cdot \left(\left({\pi}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \frac{F}{{\pi}^{2}}\right) + \left({\ell}^{3} \cdot \left(\left({\left({\pi}^{3}\right)}^{2} \cdot 0.1111111111111111\right) \cdot \left(-\frac{F}{{\pi}^{3}}\right) + F \cdot \frac{0.008333333333333333 \cdot {\pi}^{5} - \left({\pi}^{5} \cdot 0.041666666666666664 + {\pi}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {\pi}^{3}\right)\right)}{{\pi}^{2}}\right) + {\ell}^{5} \cdot \left(\left(-0.0001984126984126984 \cdot {\pi}^{7} - \left({\pi}^{4} \cdot \left({\pi}^{3} \cdot 0.013888888888888888\right) + \left({\pi}^{7} \cdot -0.001388888888888889 + \left(0.008333333333333333 \cdot {\pi}^{5} - \left({\pi}^{5} \cdot 0.041666666666666664 + {\pi}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {\pi}^{3}\right)\right)\right) \cdot \left(-0.5 \cdot {\pi}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{F}{{\pi}^{2}} + -1 \cdot \left(\left({\pi}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \frac{\left({\left({\pi}^{3}\right)}^{2} \cdot 0.1111111111111111\right) \cdot \left(-\frac{F}{{\pi}^{3}}\right) + F \cdot \frac{0.008333333333333333 \cdot {\pi}^{5} - \left({\pi}^{5} \cdot 0.041666666666666664 + {\pi}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {\pi}^{3}\right)\right)}{{\pi}^{2}}}{\pi} + \left({\pi}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(\left(0.008333333333333333 \cdot {\pi}^{5} - \left({\pi}^{5} \cdot 0.041666666666666664 + {\pi}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {\pi}^{3}\right)\right)\right) \cdot \frac{F}{{\pi}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)}} \]
   Proof

   [Start] 2.6

   \[ \pi \cdot \ell - \frac{1}{F \cdot \left(-1 \cdot \frac{F \cdot \left(\ell \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {\pi}^{3} - -0.5 \cdot {\pi}^{3}\right)\right)}{{\pi}^{2}} + \left(\frac{F}{\ell \cdot \pi} + \left(-1 \cdot \left(\left(\frac{\left(-0.0001984126984126984 \cdot {\pi}^{7} - \left(0.041666666666666664 \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {\pi}^{3} - -0.5 \cdot {\pi}^{3}\right) \cdot {\pi}^{4}\right) + \left(-0.001388888888888889 \cdot {\pi}^{7} + -0.5 \cdot \left(\left(0.008333333333333333 \cdot {\pi}^{5} - \left(0.041666666666666664 \cdot {\pi}^{5} + -0.5 \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {\pi}^{3} - -0.5 \cdot {\pi}^{3}\right) \cdot {\pi}^{2}\right)\right)\right) \cdot {\pi}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot F}{{\pi}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{\left(-0.16666666666666666 \cdot {\pi}^{3} - -0.5 \cdot {\pi}^{3}\right) \cdot \left(-1 \cdot \frac{F \cdot {\left(-0.16666666666666666 \cdot {\pi}^{3} - -0.5 \cdot {\pi}^{3}\right)}^{2}}{{\pi}^{3}} + \frac{F \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot {\pi}^{5} - \left(0.041666666666666664 \cdot {\pi}^{5} + -0.5 \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {\pi}^{3} - -0.5 \cdot {\pi}^{3}\right) \cdot {\pi}^{2}\right)\right)\right)}{{\pi}^{2}}\right)}{\pi} + -1 \cdot \frac{F \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {\pi}^{3} - -0.5 \cdot {\pi}^{3}\right) \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot {\pi}^{5} - \left(0.041666666666666664 \cdot {\pi}^{5} + -0.5 \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {\pi}^{3} - -0.5 \cdot {\pi}^{3}\right) \cdot {\pi}^{2}\right)\right)\right)\right)}{{\pi}^{3}}\right)\right) \cdot {\ell}^{5}\right) + -1 \cdot \left({\ell}^{3} \cdot \left(-1 \cdot \frac{F \cdot {\left(-0.16666666666666666 \cdot {\pi}^{3} - -0.5 \cdot {\pi}^{3}\right)}^{2}}{{\pi}^{3}} + \frac{F \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot {\pi}^{5} - \left(0.041666666666666664 \cdot {\pi}^{5} + -0.5 \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {\pi}^{3} - -0.5 \cdot {\pi}^{3}\right) \cdot {\pi}^{2}\right)\right)\right)}{{\pi}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

5. Taylor expanded in F around 0 2.3

   \[\leadsto \pi \cdot \ell - \frac{1}{F \cdot \left(\frac{\frac{F}{\ell}}{\pi} + -1 \cdot \left(\ell \cdot \left(\left({\pi}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \frac{F}{{\pi}^{2}}\right) + \left({\ell}^{3} \cdot \left(\left({\left({\pi}^{3}\right)}^{2} \cdot 0.1111111111111111\right) \cdot \left(-\frac{F}{{\pi}^{3}}\right) + F \cdot \frac{0.008333333333333333 \cdot {\pi}^{5} - \left({\pi}^{5} \cdot 0.041666666666666664 + {\pi}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {\pi}^{3}\right)\right)}{{\pi}^{2}}\right) + \color{blue}{\left(\left(-1 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\left(\left(-0.1111111111111111 \cdot {\pi}^{3} + 0.008333333333333333 \cdot {\pi}^{3}\right) - \left(0.041666666666666664 \cdot {\pi}^{3} + -0.16666666666666666 \cdot {\pi}^{3}\right)\right) \cdot {\pi}^{2}\right) + 0.3333333333333333 \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot {\pi}^{5} - \left(-0.16666666666666666 \cdot {\pi}^{5} + 0.041666666666666664 \cdot {\pi}^{5}\right)\right)\right) + -0.0001984126984126984 \cdot {\pi}^{5}\right) - \left(-0.001388888888888889 \cdot {\pi}^{5} + \left(0.013888888888888888 \cdot {\pi}^{5} + -0.5 \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot {\pi}^{5} - \left(-0.16666666666666666 \cdot {\pi}^{5} + 0.041666666666666664 \cdot {\pi}^{5}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(F \cdot {\ell}^{5}\right)}\right)\right)\right)} \]

6. Simplified 2.3

   \[\leadsto \pi \cdot \ell - \frac{1}{F \cdot \left(\frac{\frac{F}{\ell}}{\pi} + -1 \cdot \left(\ell \cdot \left(\left({\pi}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \frac{F}{{\pi}^{2}}\right) + \left({\ell}^{3} \cdot \left(\left({\left({\pi}^{3}\right)}^{2} \cdot 0.1111111111111111\right) \cdot \left(-\frac{F}{{\pi}^{3}}\right) + F \cdot \frac{0.008333333333333333 \cdot {\pi}^{5} - \left({\pi}^{5} \cdot 0.041666666666666664 + {\pi}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {\pi}^{3}\right)\right)}{{\pi}^{2}}\right) + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(-\left({\pi}^{5} \cdot 0.13333333333333333 + {\pi}^{2} \cdot \left({\pi}^{3} \cdot 0.022222222222222223\right)\right)\right) + \left({\pi}^{5} \cdot -0.0001984126984126984 - \left(\left({\pi}^{5} \cdot 0.13333333333333333\right) \cdot -0.5 + {\pi}^{5} \cdot 0.0125\right)\right)\right) \cdot \left(F \cdot {\ell}^{5}\right)}\right)\right)\right)} \]
   Proof

   [Start] 2.3

   \[ \pi \cdot \ell - \frac{1}{F \cdot \left(\frac{\frac{F}{\ell}}{\pi} + -1 \cdot \left(\ell \cdot \left(\left({\pi}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \frac{F}{{\pi}^{2}}\right) + \left({\ell}^{3} \cdot \left(\left({\left({\pi}^{3}\right)}^{2} \cdot 0.1111111111111111\right) \cdot \left(-\frac{F}{{\pi}^{3}}\right) + F \cdot \frac{0.008333333333333333 \cdot {\pi}^{5} - \left({\pi}^{5} \cdot 0.041666666666666664 + {\pi}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {\pi}^{3}\right)\right)}{{\pi}^{2}}\right) + \left(\left(-1 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\left(\left(-0.1111111111111111 \cdot {\pi}^{3} + 0.008333333333333333 \cdot {\pi}^{3}\right) - \left(0.041666666666666664 \cdot {\pi}^{3} + -0.16666666666666666 \cdot {\pi}^{3}\right)\right) \cdot {\pi}^{2}\right) + 0.3333333333333333 \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot {\pi}^{5} - \left(-0.16666666666666666 \cdot {\pi}^{5} + 0.041666666666666664 \cdot {\pi}^{5}\right)\right)\right) + -0.0001984126984126984 \cdot {\pi}^{5}\right) - \left(-0.001388888888888889 \cdot {\pi}^{5} + \left(0.013888888888888888 \cdot {\pi}^{5} + -0.5 \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot {\pi}^{5} - \left(-0.16666666666666666 \cdot {\pi}^{5} + 0.041666666666666664 \cdot {\pi}^{5}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(F \cdot {\ell}^{5}\right)\right)\right)\right)} \]

7. Final simplification 2.3

   \[\leadsto \pi \cdot \ell - \frac{1}{F \cdot \left(\frac{\frac{F}{\ell}}{\pi} + -1 \cdot \left(\ell \cdot \left(\left({\pi}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \frac{F}{{\pi}^{2}}\right) + \left({\ell}^{3} \cdot \left(\left({\left({\pi}^{3}\right)}^{2} \cdot 0.1111111111111111\right) \cdot \left(-\frac{F}{{\pi}^{3}}\right) + F \cdot \frac{0.008333333333333333 \cdot {\pi}^{5} - \left({\pi}^{5} \cdot 0.041666666666666664 + {\pi}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {\pi}^{3}\right)\right)}{{\pi}^{2}}\right) + \left(0.3333333333333333 \cdot \left(-\left({\pi}^{5} \cdot 0.13333333333333333 + {\pi}^{2} \cdot \left({\pi}^{3} \cdot 0.022222222222222223\right)\right)\right) + \left({\pi}^{5} \cdot -0.0001984126984126984 - \left(\left({\pi}^{5} \cdot 0.13333333333333333\right) \cdot -0.5 + {\pi}^{5} \cdot 0.0125\right)\right)\right) \cdot \left(F \cdot {\ell}^{5}\right)\right)\right)\right)} \]

Alternatives

Alternative 1
Error	3.6
Cost	137600

\[\pi \cdot \ell - \frac{1}{F \cdot \left(\frac{\frac{F}{\ell}}{\pi} + \left(-\left(\ell \cdot \left(\left({\pi}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \frac{F}{{\pi}^{2}}\right) + {\ell}^{3} \cdot \left(F \cdot \left(\frac{0.008333333333333333 \cdot {\pi}^{5} - \left({\pi}^{5} \cdot 0.041666666666666664 + {\pi}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {\pi}^{3}\right)\right)}{{\pi}^{2}} + \left(-0.1111111111111111 \cdot \frac{{\pi}^{6}}{{\pi}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]

Alternative 2
Error	7.5
Cost	92552

\[\begin{array}{l} t_0 := {\pi}^{3} \cdot 0.3333333333333333\\ t_1 := \frac{F}{\ell \cdot \pi}\\ \mathbf{if}\;F \leq -7 \cdot 10^{-200}:\\ \;\;\;\;\pi \cdot \ell - \frac{1}{F \cdot \left(t_1 + \left(-F \cdot \frac{\ell \cdot t_0}{{\pi}^{2}}\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;F \leq 2.6 \cdot 10^{-211}:\\ \;\;\;\;\pi \cdot \ell - \frac{1}{\frac{{F}^{2}}{\ell \cdot \pi} + \left({F}^{2} \cdot \left(\pi \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot \ell\right)\right) + \left(-\left({\pi}^{3} \cdot \left(F \cdot -0.1111111111111111\right) + F \cdot \frac{0.008333333333333333 \cdot {\pi}^{5} - {\pi}^{5} \cdot -0.125}{{\pi}^{2}}\right) \cdot \left(F \cdot {\ell}^{3}\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\pi \cdot \ell - \frac{\frac{1}{F}}{t_1 + \left(F \cdot t_0\right) \cdot \left(-\frac{\ell}{{\pi}^{2}}\right)}\\ \end{array} \]

Alternative 3
Error	7.8
Cost	79624

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;F \cdot F \leq 10^{-318}:\\ \;\;\;\;\pi \cdot \ell - \frac{1}{F \cdot \left(\frac{F}{\ell \cdot \pi} + \left(-F \cdot \frac{\ell \cdot \left({\pi}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right)}{{\pi}^{2}}\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;F \cdot F \leq 10^{-175}:\\ \;\;\;\;\pi \cdot \ell - \frac{1}{\frac{{F}^{2}}{\ell \cdot \pi} + \left({F}^{2} \cdot \left(\pi \cdot \left(\ell \cdot -0.3333333333333333\right)\right) + {\ell}^{3} \cdot \left(F \cdot \left(-F \cdot \left(-0.1111111111111111 \cdot {\pi}^{3} + \frac{{\pi}^{5} \cdot 0.13333333333333333}{{\pi}^{2}}\right)\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\pi \cdot \ell - \frac{1}{F \cdot F} \cdot \tan \left(\pi \cdot \ell\right)\\ \end{array} \]

Alternative 4
Error	8.2
Cost	39808

\[\pi \cdot \ell - \frac{1}{F \cdot \left(\frac{F}{\ell \cdot \pi} + \left(-F \cdot \frac{\ell \cdot \left({\pi}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right)}{{\pi}^{2}}\right)\right)} \]

Alternative 5
Error	11.0
Cost	33672

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;F \cdot F \leq 10^{-318}:\\ \;\;\;\;\pi \cdot \ell - \frac{\pi}{\frac{F}{\frac{\ell}{F}}}\\ \mathbf{elif}\;F \cdot F \leq 10^{-175}:\\ \;\;\;\;\pi \cdot \ell - \frac{1}{\frac{{F}^{2}}{\ell \cdot \pi} + \ell \cdot \left(\left(\pi \cdot {F}^{2}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\pi \cdot \ell - \frac{1}{F \cdot F} \cdot \tan \left(\pi \cdot \ell\right)\\ \end{array} \]

Alternative 6
Error	12.5
Cost	20040

\[\begin{array}{l} t_0 := \pi \cdot \ell - \frac{\tan \left(\pi \cdot \ell\right)}{F \cdot F}\\ \mathbf{if}\;F \leq -5.6 \cdot 10^{-155}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;F \leq 1.4 \cdot 10^{-155}:\\ \;\;\;\;\pi \cdot \ell - \frac{\pi}{\frac{F}{\frac{\ell}{F}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \]

Alternative 7
Error	12.5
Cost	19776

\[\pi \cdot \ell - \frac{\frac{\tan \left(\pi \cdot \ell\right)}{F}}{F} \]

Alternative 8
Error	17.2
Cost	13376

\[\pi \cdot \ell - \frac{\pi}{F} \cdot \frac{\ell}{F} \]

Alternative 9
Error	17.2
Cost	13376

\[\pi \cdot \ell - \frac{\pi}{F \cdot \frac{F}{\ell}} \]

Alternative 10
Error	17.2
Cost	13376

\[\pi \cdot \ell - \frac{\ell \cdot \frac{\pi}{F}}{F} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023068 
(FPCore (F l)
  :name "VandenBroeck and Keller, Equation (6)"
  :precision binary64
  (- (* PI l) (* (/ 1.0 (* F F)) (tan (* PI l)))))