Hyperbolic tangent

Average Error: 58.0 → 1.9

Time: 17.1s

Precision: binary64

Cost: 20352

Math

\[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

↓

\[\frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{{x}^{2} + \left(2 + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (- (exp x) (exp (- x))) (+ (exp x) (exp (- x)))))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (+ (* 2.0 x) (* 0.3333333333333333 (pow x 3.0)))
  (+ (pow x 2.0) (+ 2.0 (* 0.08333333333333333 (pow x 4.0))))))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - exp(-x)) / (exp(x) + exp(-x));
}

↓

double code(double x) {
	return ((2.0 * x) + (0.3333333333333333 * pow(x, 3.0))) / (pow(x, 2.0) + (2.0 + (0.08333333333333333 * pow(x, 4.0))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (exp(x) - exp(-x)) / (exp(x) + exp(-x))
end function

↓

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((2.0d0 * x) + (0.3333333333333333d0 * (x ** 3.0d0))) / ((x ** 2.0d0) + (2.0d0 + (0.08333333333333333d0 * (x ** 4.0d0))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp(x) - Math.exp(-x)) / (Math.exp(x) + Math.exp(-x));
}

↓

public static double code(double x) {
	return ((2.0 * x) + (0.3333333333333333 * Math.pow(x, 3.0))) / (Math.pow(x, 2.0) + (2.0 + (0.08333333333333333 * Math.pow(x, 4.0))));
}

Python

def code(x):
	return (math.exp(x) - math.exp(-x)) / (math.exp(x) + math.exp(-x))

↓

def code(x):
	return ((2.0 * x) + (0.3333333333333333 * math.pow(x, 3.0))) / (math.pow(x, 2.0) + (2.0 + (0.08333333333333333 * math.pow(x, 4.0))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - exp(Float64(-x))) / Float64(exp(x) + exp(Float64(-x))))
end

↓

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(2.0 * x) + Float64(0.3333333333333333 * (x ^ 3.0))) / Float64((x ^ 2.0) + Float64(2.0 + Float64(0.08333333333333333 * (x ^ 4.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp(x) - exp(-x)) / (exp(x) + exp(-x));
end

↓

function tmp = code(x)
	tmp = ((2.0 * x) + (0.3333333333333333 * (x ^ 3.0))) / ((x ^ 2.0) + (2.0 + (0.08333333333333333 * (x ^ 4.0))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[x_] := N[(N[(N[(2.0 * x), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] + N[(2.0 + N[(0.08333333333333333 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 58.0

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 2.0

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{e^{x} + e^{-x}} \]

3. Taylor expanded in x around 0 1.9

   \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{\color{blue}{2 + \left({x}^{2} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}} \]

4. Simplified 1.9

   \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{\color{blue}{{x}^{2} + \left(2 + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}} \]
   Proof

   [Start] 1.9	\[ \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{2 + \left({x}^{2} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)} \]
   rational.json-simplify-41 [=>] 1.9	\[ \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{\color{blue}{{x}^{2} + \left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + 2\right)}} \]
   rational.json-simplify-1 [=>] 1.9	\[ \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{{x}^{2} + \color{blue}{\left(2 + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}} \]

5. Final simplification 1.9

   \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{{x}^{2} + \left(2 + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)} \]

Alternatives

Alternative 1
Error	1.9
Cost	13632

\[\frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{2 + {x}^{2}} \]

Alternative 2
Error	1.9
Cost	13504

\[{x}^{3} \cdot -0.3333333333333333 + \left(x + {x}^{5} \cdot 0.13333333333333333\right) \]

Alternative 3
Error	2.1
Cost	6784

\[-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + x \]

Alternative 4
Error	2.3
Cost	64

\[x \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023067 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic tangent"
  :precision binary64
  (/ (- (exp x) (exp (- x))) (+ (exp x) (exp (- x)))))