math.cos on complex, imaginary part

Average Error: 43.9 → 0.9

Time: 14.4s

Precision: binary64

Cost: 20032

Math

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

↓

\[\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.3333333333333333 + \left({im}^{3} \cdot 0.16666666666666666 - im\right)\right) \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

↓

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (*
  (sin re)
  (+
   (* (pow im 3.0) -0.3333333333333333)
   (- (* (pow im 3.0) 0.16666666666666666) im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}

↓

double code(double re, double im) {
	return sin(re) * ((pow(im, 3.0) * -0.3333333333333333) + ((pow(im, 3.0) * 0.16666666666666666) - im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
end function

↓

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = sin(re) * (((im ** 3.0d0) * (-0.3333333333333333d0)) + (((im ** 3.0d0) * 0.16666666666666666d0) - im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
}

↓

public static double code(double re, double im) {
	return Math.sin(re) * ((Math.pow(im, 3.0) * -0.3333333333333333) + ((Math.pow(im, 3.0) * 0.16666666666666666) - im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))

↓

def code(re, im):
	return math.sin(re) * ((math.pow(im, 3.0) * -0.3333333333333333) + ((math.pow(im, 3.0) * 0.16666666666666666) - im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)))
end

↓

function code(re, im)
	return Float64(sin(re) * Float64(Float64((im ^ 3.0) * -0.3333333333333333) + Float64(Float64((im ^ 3.0) * 0.16666666666666666) - im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
end

↓

function tmp = code(re, im)
	tmp = sin(re) * (((im ^ 3.0) * -0.3333333333333333) + (((im ^ 3.0) * 0.16666666666666666) - im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[re_, im_] := N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[im, 3.0], $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Power[im, 3.0], $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] - im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Target

Original	43.9
Target	0.3
Herbie	0.9

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \]

Derivation

1. Initial program 43.9

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

2. Taylor expanded in im around 0 0.9

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot im + -0.3333333333333333 \cdot {im}^{3}\right)} \]

3. Taylor expanded in im around 0 0.9

   \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]

4. Simplified 0.9

   \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(\left(-im\right) + {im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)} \]
   Proof

   [Start] 0.9	\[ -0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right) \]
   rational.json-simplify-41 [=>] 0.9	\[ \color{blue}{-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right) + -0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right)} \]
   rational.json-simplify-3 [=>] 0.9	\[ \color{blue}{\sin re \cdot \left(-1 \cdot im\right)} + -0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) \]
   rational.json-simplify-39 [=>] 0.9	\[ \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} + -0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) \]
   rational.json-simplify-39 [=>] 0.9	\[ \color{blue}{\left(im \cdot -1\right)} \cdot \sin re + -0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) \]
   rational.json-simplify-71 [<=] 0.9	\[ \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re + -0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) \]
   rational.json-simplify-3 [=>] 0.9	\[ \left(-im\right) \cdot \sin re + \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)} \]
   rational.json-simplify-39 [<=] 0.9	\[ \left(-im\right) \cdot \sin re + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)} \]
   rational.json-simplify-35 [=>] 0.9	\[ \color{blue}{\sin re \cdot \left(\left(-im\right) + {im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)} \]

5. Applied egg-rr 0.9

   \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.3333333333333333\right) + \sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot 0.16666666666666666 - im\right)} \]

6. Simplified 0.9

   \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.3333333333333333 + \left({im}^{3} \cdot 0.16666666666666666 - im\right)\right)} \]
   Proof

   [Start] 0.9	\[ \sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.3333333333333333\right) + \sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot 0.16666666666666666 - im\right) \]
   rational.json-simplify-39 [=>] 0.9	\[ \color{blue}{\left({im}^{3} \cdot -0.3333333333333333\right) \cdot \sin re} + \sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot 0.16666666666666666 - im\right) \]
   rational.json-simplify-35 [=>] 0.9	\[ \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.3333333333333333 + \left({im}^{3} \cdot 0.16666666666666666 - im\right)\right)} \]

7. Final simplification 0.9

   \[\leadsto \sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.3333333333333333 + \left({im}^{3} \cdot 0.16666666666666666 - im\right)\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.9
Cost	13312

\[\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right) \]

Alternative 2
Error	1.2
Cost	6656

\[\sin re \cdot \left(-im\right) \]

Alternative 3
Error	31.9
Cost	832

\[\frac{0.5}{-0.08333333333333333 \cdot \frac{re}{im} - \frac{0.5}{re \cdot im}} \]

Alternative 4
Error	32.0
Cost	256

\[re \cdot \left(-im\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023066 
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (sin re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))