math.sin on complex, imaginary part

Average Error: 58.2 → 0.8

Time: 13.0s

Precision: binary64

Cost: 13504

Math

\[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]

↓

\[\frac{im \cdot \cos re}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, im \cdot im, -1\right)}} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))

↓

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (/ (* im (cos re)) (/ 1.0 (fma -0.16666666666666666 (* im im) -1.0))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
}

↓

double code(double re, double im) {
	return (im * cos(re)) / (1.0 / fma(-0.16666666666666666, (im * im), -1.0));
}

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * cos(re)) * Float64(exp(Float64(0.0 - im)) - exp(im)))
end

↓

function code(re, im)
	return Float64(Float64(im * cos(re)) / Float64(1.0 / fma(-0.16666666666666666, Float64(im * im), -1.0)))
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[N[(0.0 - im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[re_, im_] := N[(N[(im * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 / N[(-0.16666666666666666 * N[(im * im), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Target

Original	58.2
Target	0.2
Herbie	0.8

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\cos re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \]

Derivation

1. Initial program 58.2

   \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]

2. Simplified 58.2

   \[\leadsto \color{blue}{\cos re \cdot \left(0.5 \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\right)} \]
   Proof

   [Start] 58.2	\[ \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   *-commutative [=>] 58.2	\[ \color{blue}{\left(\cos re \cdot 0.5\right)} \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   associate-*l* [=>] 58.2	\[ \color{blue}{\cos re \cdot \left(0.5 \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\right)} \]
   sub-neg [=>] 58.2	\[ \cos re \cdot \left(0.5 \cdot \color{blue}{\left(e^{0 - im} + \left(-e^{im}\right)\right)}\right) \]
   sub-neg [<=] 58.2	\[ \cos re \cdot \left(0.5 \cdot \color{blue}{\left(e^{0 - im} - e^{im}\right)}\right) \]
   sub0-neg [=>] 58.2	\[ \cos re \cdot \left(0.5 \cdot \left(e^{\color{blue}{-im}} - e^{im}\right)\right) \]

3. Taylor expanded in im around 0 0.8

   \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\cos re \cdot {im}^{3}\right) + -1 \cdot \left(\cos re \cdot im\right)} \]

4. Simplified 0.8

   \[\leadsto \color{blue}{\cos re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \]
   Proof

   [Start] 0.8	\[ -0.16666666666666666 \cdot \left(\cos re \cdot {im}^{3}\right) + -1 \cdot \left(\cos re \cdot im\right) \]
   mul-1-neg [=>] 0.8	\[ -0.16666666666666666 \cdot \left(\cos re \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\left(-\cos re \cdot im\right)} \]
   unsub-neg [=>] 0.8	\[ \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\cos re \cdot {im}^{3}\right) - \cos re \cdot im} \]
   *-commutative [=>] 0.8	\[ -0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left({im}^{3} \cdot \cos re\right)} - \cos re \cdot im \]
   associate-*r* [=>] 0.8	\[ \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) \cdot \cos re} - \cos re \cdot im \]
   *-commutative [<=] 0.8	\[ \color{blue}{\cos re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)} - \cos re \cdot im \]
   distribute-lft-out-- [=>] 0.8	\[ \color{blue}{\cos re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)} \]
   *-commutative [=>] 0.8	\[ \cos re \cdot \left(\color{blue}{{im}^{3} \cdot -0.16666666666666666} - im\right) \]

5. Applied egg-rr 0.8

   \[\leadsto \cos re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 1\right)\right)} \]

6. Applied egg-rr 0.8

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{im \cdot \cos re}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, im \cdot im, -1\right)}}} \]

7. Final simplification 0.8

   \[\leadsto \frac{im \cdot \cos re}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, im \cdot im, -1\right)}} \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.8
Cost	7104

\[\cos re \cdot \left(im \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \]

Alternative 2
Error	1.1
Cost	6656

\[im \cdot \left(-\cos re\right) \]

Alternative 3
Error	29.1
Cost	128

\[-im \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023066 
(FPCore (re im)
  :name "math.sin on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (cos re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))