math.sin on complex, imaginary part

Average Error: 58.2 → 0.6

Time: 17.7s

Precision: binary64

Cost: 27008

Math

\[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]

↓

\[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7} + \left(-2 \cdot im + \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{5} + -0.3333333333333333 \cdot {im}^{3}\right)\right)\right) \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))

↓

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (*
  (* 0.5 (cos re))
  (+
   (* -0.0003968253968253968 (pow im 7.0))
   (+
    (* -2.0 im)
    (+
     (* -0.016666666666666666 (pow im 5.0))
     (* -0.3333333333333333 (pow im 3.0)))))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
}

↓

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * cos(re)) * ((-0.0003968253968253968 * pow(im, 7.0)) + ((-2.0 * im) + ((-0.016666666666666666 * pow(im, 5.0)) + (-0.3333333333333333 * pow(im, 3.0)))));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * cos(re)) * (exp((0.0d0 - im)) - exp(im))
end function

↓

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * cos(re)) * (((-0.0003968253968253968d0) * (im ** 7.0d0)) + (((-2.0d0) * im) + (((-0.016666666666666666d0) * (im ** 5.0d0)) + ((-0.3333333333333333d0) * (im ** 3.0d0)))))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.cos(re)) * (Math.exp((0.0 - im)) - Math.exp(im));
}

↓

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.cos(re)) * ((-0.0003968253968253968 * Math.pow(im, 7.0)) + ((-2.0 * im) + ((-0.016666666666666666 * Math.pow(im, 5.0)) + (-0.3333333333333333 * Math.pow(im, 3.0)))));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.cos(re)) * (math.exp((0.0 - im)) - math.exp(im))

↓

def code(re, im):
	return (0.5 * math.cos(re)) * ((-0.0003968253968253968 * math.pow(im, 7.0)) + ((-2.0 * im) + ((-0.016666666666666666 * math.pow(im, 5.0)) + (-0.3333333333333333 * math.pow(im, 3.0)))))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * cos(re)) * Float64(exp(Float64(0.0 - im)) - exp(im)))
end

↓

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * cos(re)) * Float64(Float64(-0.0003968253968253968 * (im ^ 7.0)) + Float64(Float64(-2.0 * im) + Float64(Float64(-0.016666666666666666 * (im ^ 5.0)) + Float64(-0.3333333333333333 * (im ^ 3.0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
end

↓

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * cos(re)) * ((-0.0003968253968253968 * (im ^ 7.0)) + ((-2.0 * im) + ((-0.016666666666666666 * (im ^ 5.0)) + (-0.3333333333333333 * (im ^ 3.0)))));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[N[(0.0 - im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(-0.0003968253968253968 * N[Power[im, 7.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-2.0 * im), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.016666666666666666 * N[Power[im, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.3333333333333333 * N[Power[im, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Target

Original	58.2
Target	0.2
Herbie	0.6

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\cos re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \]

Derivation

1. Initial program 58.2

   \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]

2. Simplified 58.2

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)} \]
   Proof

   [Start] 58.2	\[ \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   rational.json-simplify-13 [=>] 58.2	\[ \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{\color{blue}{-im}} - e^{im}\right) \]

3. Taylor expanded in im around 0 0.6

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7} + \left(-2 \cdot im + \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{5} + -0.3333333333333333 \cdot {im}^{3}\right)\right)\right)} \]

4. Final simplification 0.6

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7} + \left(-2 \cdot im + \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{5} + -0.3333333333333333 \cdot {im}^{3}\right)\right)\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.7
Cost	20032

\[\left(\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) - im\right) \cdot \cos re \]

Alternative 2
Error	0.8
Cost	13312

\[\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right) \cdot \cos re \]

Alternative 3
Error	1.1
Cost	6656

\[\left(-im\right) \cdot \cos re \]

Alternative 4
Error	28.9
Cost	128

\[-im \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023065 
(FPCore (re im)
  :name "math.sin on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (cos re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))