UniformSampleCone 2

Average Error: 0.3 → 0.3

Time: 37.4s

Precision: binary32

Cost: 21088

\[\left(\left(\left(\left(\left(-10000 \leq xi \land xi \leq 10000\right) \land \left(-10000 \leq yi \land yi \leq 10000\right)\right) \land \left(-10000 \leq zi \land zi \leq 10000\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

↓

\[\begin{array}{l} t_0 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ t_1 := \left(1 - ux\right) \cdot maxCos\\ t_2 := ux \cdot t_1\\ t_3 := \sqrt{1 - t_2 \cdot t_2}\\ t_3 \cdot \left(\cos t_0 \cdot xi\right) + \left(t_3 \cdot \left(\sin t_0 \cdot yi\right) + t_1 \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (+
   (*
    (*
     (cos (* (* uy 2.0) PI))
     (sqrt
      (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux)))))
    xi)
   (*
    (*
     (sin (* (* uy 2.0) PI))
     (sqrt
      (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux)))))
    yi))
  (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))

↓

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* uy 2.0) PI))
        (t_1 (* (- 1.0 ux) maxCos))
        (t_2 (* ux t_1))
        (t_3 (sqrt (- 1.0 (* t_2 t_2)))))
   (+
    (* t_3 (* (cos t_0) xi))
    (+ (* t_3 (* (sin t_0) yi)) (* t_1 (* ux zi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (((cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - ((((1.0f - ux) * maxCos) * ux) * (((1.0f - ux) * maxCos) * ux))))) * xi) + ((sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - ((((1.0f - ux) * maxCos) * ux) * (((1.0f - ux) * maxCos) * ux))))) * yi)) + ((((1.0f - ux) * maxCos) * ux) * zi);
}

↓

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	float t_1 = (1.0f - ux) * maxCos;
	float t_2 = ux * t_1;
	float t_3 = sqrtf((1.0f - (t_2 * t_2)));
	return (t_3 * (cosf(t_0) * xi)) + ((t_3 * (sinf(t_0) * yi)) + (t_1 * (ux * zi)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux))))) * xi) + Float32(Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux))))) * yi)) + Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * zi))
end

↓

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	t_1 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)
	t_2 = Float32(ux * t_1)
	t_3 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_2 * t_2)))
	return Float32(Float32(t_3 * Float32(cos(t_0) * xi)) + Float32(Float32(t_3 * Float32(sin(t_0) * yi)) + Float32(t_1 * Float32(ux * zi))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (((cos(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((single(1.0) - ((((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * (((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux))))) * xi) + ((sin(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((single(1.0) - ((((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * (((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux))))) * yi)) + ((((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * zi);
end

↓

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	t_1 = (single(1.0) - ux) * maxCos;
	t_2 = ux * t_1;
	t_3 = sqrt((single(1.0) - (t_2 * t_2)));
	tmp = (t_3 * (cos(t_0) * xi)) + ((t_3 * (sin(t_0) * yi)) + (t_1 * (ux * zi)));
end

Derivation

1. Initial program 0.3

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Simplified 0.3

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot xi\right) + \left(\sqrt{1 - \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot yi\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)} \]
   Proof

   [Start] 0.3	\[ \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   rational.json-simplify-1 [=>] 0.3	\[ \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi + \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right)} \]
   rational.json-simplify-41 [=>] 0.3	\[ \color{blue}{\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

3. Final simplification 0.3

   \[\leadsto \sqrt{1 - \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot xi\right) + \left(\sqrt{1 - \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot yi\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.3
Cost	17312

\[\begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \sqrt{1 - \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos t_0 \cdot xi + \sin t_0 \cdot yi\right) + ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right) \end{array} \]

Alternative 2
Error	0.4
Cost	17056

\[\begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \sqrt{1 - \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)} \cdot \left(\cos t_0 \cdot xi + \sin t_0 \cdot yi\right) + ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right) \end{array} \]

Alternative 3
Error	3.2
Cost	14112

\[\sqrt{1 - \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) + ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right) \]

Alternative 4
Error	3.2
Cost	14112

\[\sqrt{1 - \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \left(\pi \cdot \left(uy + uy\right)\right) \cdot yi\right) + ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right) \]

Alternative 5
Error	3.0
Cost	13924

\[\begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ t_1 := \sqrt{1 - \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)}\\ t_2 := ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right)\\ \mathbf{if}\;xi \leq 1.4999999800084155 \cdot 10^{-24}:\\ \;\;\;\;t_1 \cdot \left(\cos 0 \cdot xi + \sin t_0 \cdot yi\right) + t_2\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_1 \cdot \left(\cos t_0 \cdot xi + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(yi \cdot uy\right)\right)\right) + t_2\\ \end{array} \]

Alternative 6
Error	3.2
Cost	13856

\[\sqrt{1 - \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) + ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \]

Alternative 7
Error	3.2
Cost	13856

\[\sqrt{1 - \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) + ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right) \]

Alternative 8
Error	3.1
Cost	13828

\[\begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ t_1 := \sqrt{1 - \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)}\\ \mathbf{if}\;xi \leq 1.4999999800084155 \cdot 10^{-24}:\\ \;\;\;\;t_1 \cdot \left(\cos 0 \cdot xi + \sin t_0 \cdot yi\right) + ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_1 \cdot \left(\cos t_0 \cdot xi + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(yi \cdot uy\right)\right)\right) + ux \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\\ \end{array} \]

Alternative 9
Error	4.1
Cost	13728

\[\sqrt{1 - \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) + ux \cdot \left(maxCos \cdot zi\right) \]

Alternative 10
Error	4.1
Cost	13728

\[\sqrt{1 - \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(yi \cdot uy\right)\right)\right) + ux \cdot \left(maxCos \cdot zi\right) \]

Alternative 11
Error	5.9
Cost	10816

\[\sqrt{1 - \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos 0 \cdot xi + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) + ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right) \]

Alternative 12
Error	5.9
Cost	10816

\[\sqrt{1 - \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos 0 \cdot xi + \left(\pi \cdot \left(uy + uy\right)\right) \cdot yi\right) + ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023064 
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone 2"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (and (and (<= -10000.0 xi) (<= xi 10000.0)) (and (<= -10000.0 yi) (<= yi 10000.0))) (and (<= -10000.0 zi) (<= zi 10000.0))) (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (+ (+ (* (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) xi) (* (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) yi)) (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))