ENA, Section 1.4, Exercise 4a

Average Error: 30.0 → 0.3

Time: 18.8s

Precision: binary64

Cost: 13760

\[-1 \leq x \land x \leq 1\]

Math

\[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

↓

\[\left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) + x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (+
   (* -0.0007275132275132275 (pow x 6.0))
   (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0)))
  (* x (* 0.16666666666666666 x))))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

↓

double code(double x) {
	return ((-0.0007275132275132275 * pow(x, 6.0)) + (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0))) + (x * (0.16666666666666666 * x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

↓

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (((-0.0007275132275132275d0) * (x ** 6.0d0)) + ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0))) + (x * (0.16666666666666666d0 * x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

↓

public static double code(double x) {
	return ((-0.0007275132275132275 * Math.pow(x, 6.0)) + (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0))) + (x * (0.16666666666666666 * x));
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

↓

def code(x):
	return ((-0.0007275132275132275 * math.pow(x, 6.0)) + (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0))) + (x * (0.16666666666666666 * x))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

↓

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0))) + Float64(x * Float64(0.16666666666666666 * x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

↓

function tmp = code(x)
	tmp = ((-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0))) + (x * (0.16666666666666666 * x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[x_] := N[(N[(N[(-0.0007275132275132275 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[(0.16666666666666666 * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Target

Original	30.0
Target	0.9
Herbie	0.3

\[0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

Derivation

1. Initial program 30.0

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 0.4

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]

3. Applied egg-rr 30.3

   \[\leadsto \color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} - 1\right)} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

4. Simplified 0.3

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]
   Proof

   [Start] 30.3	\[ \left(e^{\mathsf{log1p}\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} - 1\right) + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]
   expm1-def [=>] 0.4	\[ \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]
   expm1-log1p [=>] 0.4	\[ \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]
   associate-*r* [=>] 0.3	\[ \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

5. Final simplification 0.3

   \[\leadsto \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) + x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.4
Cost	7040

\[-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \]

Alternative 2
Error	0.5
Cost	704

\[\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \]

Alternative 3
Error	0.9
Cost	320

\[0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

Alternative 4
Error	0.9
Cost	320

\[x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023060 
(FPCore (x)
  :name "ENA, Section 1.4, Exercise 4a"
  :precision binary64
  :pre (and (<= -1.0 x) (<= x 1.0))

  :herbie-target
  (* 0.16666666666666666 (* x x))

  (/ (- x (sin x)) (tan x)))