Cubic critical, wide range

Average Error: 53.1 → 0.6

Time: 15.3s

Precision: binary64

Cost: 8128

\[\left(\left(4.930380657631324 \cdot 10^{-32} < a \land a < 2.028240960365167 \cdot 10^{+31}\right) \land \left(4.930380657631324 \cdot 10^{-32} < b \land b < 2.028240960365167 \cdot 10^{+31}\right)\right) \land \left(4.930380657631324 \cdot 10^{-32} < c \land c < 2.028240960365167 \cdot 10^{+31}\right)\]

Math

\[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]

↓

\[-0.3333333333333333 \cdot \frac{a \cdot \left(3 \cdot c\right) + 0 \cdot \left(b \cdot b\right)}{a \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3.0 a) c)))) (* 3.0 a)))

↓

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (*
  -0.3333333333333333
  (/
   (+ (* a (* 3.0 c)) (* 0.0 (* b b)))
   (* a (+ b (sqrt (+ (* b b) (* a (* c -3.0)))))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
}

↓

double code(double a, double b, double c) {
	return -0.3333333333333333 * (((a * (3.0 * c)) + (0.0 * (b * b))) / (a * (b + sqrt(((b * b) + (a * (c * -3.0)))))));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0d0 * a) * c)))) / (3.0d0 * a)
end function

↓

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (-0.3333333333333333d0) * (((a * (3.0d0 * c)) + (0.0d0 * (b * b))) / (a * (b + sqrt(((b * b) + (a * (c * (-3.0d0))))))))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + Math.sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
}

↓

public static double code(double a, double b, double c) {
	return -0.3333333333333333 * (((a * (3.0 * c)) + (0.0 * (b * b))) / (a * (b + Math.sqrt(((b * b) + (a * (c * -3.0)))))));
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-b + math.sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a)

↓

def code(a, b, c):
	return -0.3333333333333333 * (((a * (3.0 * c)) + (0.0 * (b * b))) / (a * (b + math.sqrt(((b * b) + (a * (c * -3.0)))))))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(-b) + sqrt(Float64(Float64(b * b) - Float64(Float64(3.0 * a) * c)))) / Float64(3.0 * a))
end

↓

function code(a, b, c)
	return Float64(-0.3333333333333333 * Float64(Float64(Float64(a * Float64(3.0 * c)) + Float64(0.0 * Float64(b * b))) / Float64(a * Float64(b + sqrt(Float64(Float64(b * b) + Float64(a * Float64(c * -3.0))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
end

↓

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = -0.3333333333333333 * (((a * (3.0 * c)) + (0.0 * (b * b))) / (a * (b + sqrt(((b * b) + (a * (c * -3.0)))))));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[((-b) + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(N[(3.0 * a), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(3.0 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[a_, b_, c_] := N[(-0.3333333333333333 * N[(N[(N[(a * N[(3.0 * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.0 * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(a * N[(b + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + N[(a * N[(c * -3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.1

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]

2. Simplified 53.1

   \[\leadsto \color{blue}{\left(b - \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \frac{-0.3333333333333333}{a}} \]
   Proof

   [Start] 53.1	\[ \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
   remove-double-neg [<=] 53.1	\[ \frac{\left(-b\right) + \color{blue}{\left(-\left(-\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right)\right)}}{3 \cdot a} \]
   sub-neg [<=] 53.1	\[ \frac{\color{blue}{\left(-b\right) - \left(-\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right)}}{3 \cdot a} \]
   div-sub [=>] 53.2	\[ \color{blue}{\frac{-b}{3 \cdot a} - \frac{-\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}} \]
   neg-mul-1 [=>] 53.2	\[ \frac{\color{blue}{-1 \cdot b}}{3 \cdot a} - \frac{-\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
   associate-*l/ [<=] 53.0	\[ \color{blue}{\frac{-1}{3 \cdot a} \cdot b} - \frac{-\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
   distribute-frac-neg [=>] 53.0	\[ \frac{-1}{3 \cdot a} \cdot b - \color{blue}{\left(-\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\right)} \]
   fma-neg [=>] 52.2	\[ \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{3 \cdot a}, b, -\left(-\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\right)\right)} \]
   /-rgt-identity [<=] 52.2	\[ \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{3 \cdot a}, \color{blue}{\frac{b}{1}}, -\left(-\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\right)\right) \]
   metadata-eval [<=] 52.2	\[ \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{3 \cdot a}, \frac{b}{\color{blue}{\frac{-1}{-1}}}, -\left(-\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\right)\right) \]
   associate-/l* [<=] 52.2	\[ \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{3 \cdot a}, \color{blue}{\frac{b \cdot -1}{-1}}, -\left(-\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\right)\right) \]
   *-commutative [<=] 52.2	\[ \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{3 \cdot a}, \frac{\color{blue}{-1 \cdot b}}{-1}, -\left(-\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\right)\right) \]
   neg-mul-1 [<=] 52.2	\[ \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{3 \cdot a}, \frac{\color{blue}{-b}}{-1}, -\left(-\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\right)\right) \]
   fma-neg [<=] 53.0	\[ \color{blue}{\frac{-1}{3 \cdot a} \cdot \frac{-b}{-1} - \left(-\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\right)} \]
   neg-mul-1 [=>] 53.0	\[ \frac{-1}{3 \cdot a} \cdot \frac{-b}{-1} - \color{blue}{-1 \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}} \]

3. Applied egg-rr 52.8

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{b \cdot b - \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}{\frac{1}{\frac{1}{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}}}} \cdot \frac{-0.3333333333333333}{a} \]

4. Applied egg-rr 53.0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.3333333333333333}{a} \cdot \frac{b}{\frac{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}{b}} + \frac{-0.3333333333333333}{a} \cdot \left(-\frac{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}\right)} \]

5. Simplified 0.6

   \[\leadsto \color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot \frac{a \cdot \left(3 \cdot c\right) + 0 \cdot \left(b \cdot b\right)}{a \cdot \left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)}} \]
   Proof

   [Start] 53.0	\[ \frac{-0.3333333333333333}{a} \cdot \frac{b}{\frac{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}{b}} + \frac{-0.3333333333333333}{a} \cdot \left(-\frac{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}\right) \]
   distribute-rgt-neg-out [=>] 53.0	\[ \frac{-0.3333333333333333}{a} \cdot \frac{b}{\frac{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}{b}} + \color{blue}{\left(-\frac{-0.3333333333333333}{a} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}\right)} \]
   sub-neg [<=] 53.0	\[ \color{blue}{\frac{-0.3333333333333333}{a} \cdot \frac{b}{\frac{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}{b}} - \frac{-0.3333333333333333}{a} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}} \]
   *-commutative [=>] 53.0	\[ \color{blue}{\frac{b}{\frac{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}{b}} \cdot \frac{-0.3333333333333333}{a}} - \frac{-0.3333333333333333}{a} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}} \]
   associate-/r/ [=>] 53.0	\[ \color{blue}{\left(\frac{b}{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}} \cdot b\right)} \cdot \frac{-0.3333333333333333}{a} - \frac{-0.3333333333333333}{a} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}} \]
   associate-*l/ [=>] 53.0	\[ \color{blue}{\frac{b \cdot b}{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}} \cdot \frac{-0.3333333333333333}{a} - \frac{-0.3333333333333333}{a} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}} \]
   associate-/r/ [<=] 52.7	\[ \color{blue}{\frac{b \cdot b}{\frac{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}{\frac{-0.3333333333333333}{a}}}} - \frac{-0.3333333333333333}{a} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}} \]
   *-commutative [=>] 52.7	\[ \frac{b \cdot b}{\frac{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}{\frac{-0.3333333333333333}{a}}} - \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}} \cdot \frac{-0.3333333333333333}{a}} \]
   associate-/r/ [<=] 52.9	\[ \frac{b \cdot b}{\frac{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}{\frac{-0.3333333333333333}{a}}} - \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}{\frac{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}{\frac{-0.3333333333333333}{a}}}} \]

6. Applied egg-rr 0.6

   \[\leadsto -0.3333333333333333 \cdot \frac{a \cdot \left(3 \cdot c\right) + 0 \cdot \left(b \cdot b\right)}{a \cdot \left(b + \sqrt{\color{blue}{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}}\right)} \]

7. Final simplification 0.6

   \[\leadsto -0.3333333333333333 \cdot \frac{a \cdot \left(3 \cdot c\right) + 0 \cdot \left(b \cdot b\right)}{a \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)} \]

Alternatives

Alternative 1
Error	2.6
Cost	7424

\[\frac{c \cdot -0.5}{b} + \left(c \cdot \left(c \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right)\right) \cdot -0.375 \]

Alternative 2
Error	2.9
Cost	1216

\[c \cdot \frac{-0.5}{b} + -0.375 \cdot \left(c \cdot \frac{\frac{c}{b}}{\frac{b \cdot b}{a}}\right) \]

Alternative 3
Error	58.4
Cost	320

\[-0.1111111111111111 \cdot \frac{b}{a} \]

Alternative 4
Error	5.9
Cost	320

\[c \cdot \frac{-0.5}{b} \]

Alternative 5
Error	5.7
Cost	320

\[\frac{c \cdot -0.5}{b} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023060 
(FPCore (a b c)
  :name "Cubic critical, wide range"
  :precision binary64
  :pre (and (and (and (< 4.930380657631324e-32 a) (< a 2.028240960365167e+31)) (and (< 4.930380657631324e-32 b) (< b 2.028240960365167e+31))) (and (< 4.930380657631324e-32 c) (< c 2.028240960365167e+31)))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3.0 a) c)))) (* 3.0 a)))