math.cos on complex, imaginary part

Average Error: 43.4 → 0.9

Time: 12.3s

Precision: binary64

Cost: 20032

Math

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

↓

\[\sin re \cdot \left(\left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right) + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right) \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

↓

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (*
  (sin re)
  (+
   (- (* (pow im 3.0) -0.16666666666666666) im)
   (* (pow im 5.0) -0.008333333333333333))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}

↓

double code(double re, double im) {
	return sin(re) * (((pow(im, 3.0) * -0.16666666666666666) - im) + (pow(im, 5.0) * -0.008333333333333333));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
end function

↓

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = sin(re) * ((((im ** 3.0d0) * (-0.16666666666666666d0)) - im) + ((im ** 5.0d0) * (-0.008333333333333333d0)))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
}

↓

public static double code(double re, double im) {
	return Math.sin(re) * (((Math.pow(im, 3.0) * -0.16666666666666666) - im) + (Math.pow(im, 5.0) * -0.008333333333333333));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))

↓

def code(re, im):
	return math.sin(re) * (((math.pow(im, 3.0) * -0.16666666666666666) - im) + (math.pow(im, 5.0) * -0.008333333333333333))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)))
end

↓

function code(re, im)
	return Float64(sin(re) * Float64(Float64(Float64((im ^ 3.0) * -0.16666666666666666) - im) + Float64((im ^ 5.0) * -0.008333333333333333)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
end

↓

function tmp = code(re, im)
	tmp = sin(re) * ((((im ^ 3.0) * -0.16666666666666666) - im) + ((im ^ 5.0) * -0.008333333333333333));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[re_, im_] := N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[Power[im, 3.0], $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision] - im), $MachinePrecision] + N[(N[Power[im, 5.0], $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Target

Original	43.4
Target	0.3
Herbie	0.9

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \]

Derivation

1. Initial program 43.4

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

2. Taylor expanded in im around 0 0.9

   \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right)} \]

3. Simplified 0.9

   \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(\left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right) + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)} \]
   Proof

   [Start] 0.9	\[ -0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]
   +-commutative [=>] 0.9	\[ -0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right)} \]
   associate-+r+ [=>] 0.9	\[ \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)} \]
   *-commutative [=>] 0.9	\[ \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left({im}^{3} \cdot \sin re\right)} + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) \]
   associate-*r* [=>] 0.9	\[ \left(\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) \cdot \sin re} + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) \]
   *-commutative [=>] 0.9	\[ \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) \cdot \sin re + -1 \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \sin re\right)}\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) \]
   associate-*r* [=>] 0.9	\[ \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) \cdot \sin re + \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re}\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) \]
   distribute-rgt-out [=>] 0.9	\[ \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} + -1 \cdot im\right)} + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) \]
   *-commutative [=>] 0.9	\[ \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} + -1 \cdot im\right) + \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) \cdot -0.008333333333333333} \]
   associate-*l* [=>] 0.9	\[ \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} + -1 \cdot im\right) + \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)} \]
   distribute-lft-out [=>] 0.9	\[ \color{blue}{\sin re \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} + -1 \cdot im\right) + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)} \]
   mul-1-neg [=>] 0.9	\[ \sin re \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} + \color{blue}{\left(-im\right)}\right) + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right) \]
   sub-neg [<=] 0.9	\[ \sin re \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)} + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right) \]
   *-commutative [=>] 0.9	\[ \sin re \cdot \left(\left(\color{blue}{{im}^{3} \cdot -0.16666666666666666} - im\right) + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right) \]

4. Final simplification 0.9

   \[\leadsto \sin re \cdot \left(\left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right) + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Error	1.0
Cost	13312

\[\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right) \]

Alternative 2
Error	1.4
Cost	6656

\[\sin re \cdot \left(-im\right) \]

Alternative 3
Error	31.6
Cost	256

\[re \cdot \left(-im\right) \]

Alternative 4
Error	46.8
Cost	192

\[re \cdot im \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023057 
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (sin re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))