Octave 3.8, oct_fill_randg

Average Error: 0.1 → 0.1

Time: 12.7s

Precision: binary64

Cost: 7104

Math

\[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

↓

\[-0.3333333333333333 + \left(a + rand \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a + -0.3333333333333333}\right)\right) \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (*
  (- a (/ 1.0 3.0))
  (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))

↓

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (+
  -0.3333333333333333
  (+ a (* rand (* 0.3333333333333333 (sqrt (+ a -0.3333333333333333)))))))

C

double code(double a, double rand) {
	return (a - (1.0 / 3.0)) * (1.0 + ((1.0 / sqrt((9.0 * (a - (1.0 / 3.0))))) * rand));
}

↓

double code(double a, double rand) {
	return -0.3333333333333333 + (a + (rand * (0.3333333333333333 * sqrt((a + -0.3333333333333333)))));
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    code = (a - (1.0d0 / 3.0d0)) * (1.0d0 + ((1.0d0 / sqrt((9.0d0 * (a - (1.0d0 / 3.0d0))))) * rand))
end function

↓

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    code = (-0.3333333333333333d0) + (a + (rand * (0.3333333333333333d0 * sqrt((a + (-0.3333333333333333d0))))))
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	return (a - (1.0 / 3.0)) * (1.0 + ((1.0 / Math.sqrt((9.0 * (a - (1.0 / 3.0))))) * rand));
}

↓

public static double code(double a, double rand) {
	return -0.3333333333333333 + (a + (rand * (0.3333333333333333 * Math.sqrt((a + -0.3333333333333333)))));
}

Python

def code(a, rand):
	return (a - (1.0 / 3.0)) * (1.0 + ((1.0 / math.sqrt((9.0 * (a - (1.0 / 3.0))))) * rand))

↓

def code(a, rand):
	return -0.3333333333333333 + (a + (rand * (0.3333333333333333 * math.sqrt((a + -0.3333333333333333)))))

Julia

function code(a, rand)
	return Float64(Float64(a - Float64(1.0 / 3.0)) * Float64(1.0 + Float64(Float64(1.0 / sqrt(Float64(9.0 * Float64(a - Float64(1.0 / 3.0))))) * rand)))
end

↓

function code(a, rand)
	return Float64(-0.3333333333333333 + Float64(a + Float64(rand * Float64(0.3333333333333333 * sqrt(Float64(a + -0.3333333333333333))))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, rand)
	tmp = (a - (1.0 / 3.0)) * (1.0 + ((1.0 / sqrt((9.0 * (a - (1.0 / 3.0))))) * rand));
end

↓

function tmp = code(a, rand)
	tmp = -0.3333333333333333 + (a + (rand * (0.3333333333333333 * sqrt((a + -0.3333333333333333)))));
end

Wolfram

code[a_, rand_] := N[(N[(a - N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(1.0 / N[Sqrt[N[(9.0 * N[(a - N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * rand), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[a_, rand_] := N[(-0.3333333333333333 + N[(a + N[(rand * N[(0.3333333333333333 * N[Sqrt[N[(a + -0.3333333333333333), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 0.1

   \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

2. Simplified 0.1

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]
   Proof

   [Start] 0.1	\[ \left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   cancel-sign-sub [<=] 0.1	\[ \left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \color{blue}{\left(1 - \left(-\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}\right) \cdot rand\right)} \]
   distribute-lft-neg-in [<=] 0.1	\[ \left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\left(-\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)}\right) \]
   sub-neg [=>] 0.1	\[ \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 - \left(-\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)\right) \]
   metadata-eval [=>] 0.1	\[ \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 - \left(-\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)\right) \]
   metadata-eval [=>] 0.1	\[ \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 - \left(-\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)\right) \]
   sub-neg [=>] 0.1	\[ \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(-\left(-\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)\right)\right)} \]
   remove-double-neg [=>] 0.1	\[ \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand}\right) \]
   /-rgt-identity [<=] 0.1	\[ \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\color{blue}{\frac{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}{1}}} \cdot rand\right) \]

3. Taylor expanded in rand around 0 0.2

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right) + a\right) - 0.3333333333333333} \]

4. Applied egg-rr 19.2

   \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a + -0.3333333333333333} \cdot rand\right)\right)} + -1\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

5. Simplified 0.1

   \[\leadsto \left(\color{blue}{rand \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a + -0.3333333333333333}\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]
   Proof

   [Start] 19.2	\[ \left(\left(e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a + -0.3333333333333333} \cdot rand\right)\right)} + -1\right) + a\right) - 0.3333333333333333 \]
   metadata-eval [<=] 19.2	\[ \left(\left(e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a + -0.3333333333333333} \cdot rand\right)\right)} + \color{blue}{\left(-1\right)}\right) + a\right) - 0.3333333333333333 \]
   sub-neg [<=] 19.2	\[ \left(\color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a + -0.3333333333333333} \cdot rand\right)\right)} - 1\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]
   expm1-def [=>] 19.2	\[ \left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a + -0.3333333333333333} \cdot rand\right)\right)\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]
   expm1-log1p [=>] 0.2	\[ \left(\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a + -0.3333333333333333} \cdot rand\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]
   associate-*r* [=>] 0.1	\[ \left(\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a + -0.3333333333333333}\right) \cdot rand} + a\right) - 0.3333333333333333 \]
   *-commutative [=>] 0.1	\[ \left(\color{blue}{rand \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a + -0.3333333333333333}\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

6. Final simplification 0.1

   \[\leadsto -0.3333333333333333 + \left(a + rand \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a + -0.3333333333333333}\right)\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Error	5.7
Cost	7113

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -2.7 \cdot 10^{+103} \lor \neg \left(rand \leq 2.3 \cdot 10^{+84}\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a + -0.3333333333333333}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;a + -0.3333333333333333\\ \end{array} \]

Alternative 2
Error	6.5
Cost	7113

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -2.55 \cdot 10^{+103} \lor \neg \left(rand \leq 1.85 \cdot 10^{+130}\right):\\ \;\;\;\;rand \cdot \sqrt{-0.037037037037037035 + a \cdot 0.1111111111111111}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;a + -0.3333333333333333\\ \end{array} \]

Alternative 3
Error	5.7
Cost	7112

\[\begin{array}{l} t_0 := \sqrt{a + -0.3333333333333333}\\ \mathbf{if}\;rand \leq -2.55 \cdot 10^{+103}:\\ \;\;\;\;t_0 \cdot \left(rand \cdot 0.3333333333333333\right)\\ \mathbf{elif}\;rand \leq 1.95 \cdot 10^{+85}:\\ \;\;\;\;a + -0.3333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot t_0\right)\\ \end{array} \]

Alternative 4
Error	0.2
Cost	7104

\[-0.3333333333333333 + \left(a + 0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a + -0.3333333333333333}\right)\right) \]

Alternative 5
Error	18.3
Cost	192

\[a + -0.3333333333333333 \]

Alternative 6
Error	63.1
Cost	64

\[-0.3333333333333333 \]

Alternative 7
Error	18.9
Cost	64

\[a \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023056 
(FPCore (a rand)
  :name "Octave 3.8, oct_fill_randg"
  :precision binary64
  (* (- a (/ 1.0 3.0)) (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))