Diagrams.Solve.Polynomial:cubForm from diagrams-solve-0.1, K

Average Error: 20.5 → 17.0

Time: 24.3s

Precision: binary64

Cost: 40904

\[ \begin{array}{c}[z, t] = \mathsf{sort}([z, t])\\ \end{array} \]

Math

\[\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(y - \frac{z \cdot t}{3}\right) - \frac{a}{b \cdot 3} \]

↓

\[\begin{array}{l} t_1 := y - \frac{z \cdot t}{3}\\ t_2 := \frac{a}{3 \cdot b}\\ \mathbf{if}\;t_1 \leq -5 \cdot 10^{+224}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(y \cdot 2\right)\right) \cdot \left(x \cdot 4\right)} - t_2\\ \mathbf{elif}\;t_1 \leq 10^{+297}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\cos y, \cos \left(z \cdot \left(t \cdot -0.3333333333333333\right)\right), \sin y \cdot \sin \left(\left(z \cdot t\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \sqrt{x \cdot 4} - t_2\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos y \cdot \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) - {\left(3 \cdot \frac{b}{a}\right)}^{-1}\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t a b)
 :precision binary64
 (- (* (* 2.0 (sqrt x)) (cos (- y (/ (* z t) 3.0)))) (/ a (* b 3.0))))

↓

(FPCore (x y z t a b)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (- y (/ (* z t) 3.0))) (t_2 (/ a (* 3.0 b))))
   (if (<= t_1 -5e+224)
     (- (sqrt (* (+ 0.5 (* 0.5 (cos (* y 2.0)))) (* x 4.0))) t_2)
     (if (<= t_1 1e+297)
       (-
        (*
         (fma
          (cos y)
          (cos (* z (* t -0.3333333333333333)))
          (* (sin y) (sin (* (* z t) 0.3333333333333333))))
         (sqrt (* x 4.0)))
        t_2)
       (- (* (cos y) (* 2.0 (sqrt x))) (pow (* 3.0 (/ b a)) -1.0))))))

C

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b) {
	return ((2.0 * sqrt(x)) * cos((y - ((z * t) / 3.0)))) - (a / (b * 3.0));
}

↓

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b) {
	double t_1 = y - ((z * t) / 3.0);
	double t_2 = a / (3.0 * b);
	double tmp;
	if (t_1 <= -5e+224) {
		tmp = sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((y * 2.0)))) * (x * 4.0))) - t_2;
	} else if (t_1 <= 1e+297) {
		tmp = (fma(cos(y), cos((z * (t * -0.3333333333333333))), (sin(y) * sin(((z * t) * 0.3333333333333333)))) * sqrt((x * 4.0))) - t_2;
	} else {
		tmp = (cos(y) * (2.0 * sqrt(x))) - pow((3.0 * (b / a)), -1.0);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y, z, t, a, b)
	return Float64(Float64(Float64(2.0 * sqrt(x)) * cos(Float64(y - Float64(Float64(z * t) / 3.0)))) - Float64(a / Float64(b * 3.0)))
end

↓

function code(x, y, z, t, a, b)
	t_1 = Float64(y - Float64(Float64(z * t) / 3.0))
	t_2 = Float64(a / Float64(3.0 * b))
	tmp = 0.0
	if (t_1 <= -5e+224)
		tmp = Float64(sqrt(Float64(Float64(0.5 + Float64(0.5 * cos(Float64(y * 2.0)))) * Float64(x * 4.0))) - t_2);
	elseif (t_1 <= 1e+297)
		tmp = Float64(Float64(fma(cos(y), cos(Float64(z * Float64(t * -0.3333333333333333))), Float64(sin(y) * sin(Float64(Float64(z * t) * 0.3333333333333333)))) * sqrt(Float64(x * 4.0))) - t_2);
	else
		tmp = Float64(Float64(cos(y) * Float64(2.0 * sqrt(x))) - (Float64(3.0 * Float64(b / a)) ^ -1.0));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_, z_, t_, a_, b_] := N[(N[(N[(2.0 * N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(y - N[(N[(z * t), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(a / N[(b * 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[x_, y_, z_, t_, a_, b_] := Block[{t$95$1 = N[(y - N[(N[(z * t), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(a / N[(3.0 * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$1, -5e+224], N[(N[Sqrt[N[(N[(0.5 + N[(0.5 * N[Cos[N[(y * 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(x * 4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - t$95$2), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$1, 1e+297], N[(N[(N[(N[Cos[y], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(z * N[(t * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(N[Sin[y], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(N[(z * t), $MachinePrecision] * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sqrt[N[(x * 4.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - t$95$2), $MachinePrecision], N[(N[(N[Cos[y], $MachinePrecision] * N[(2.0 * N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Power[N[(3.0 * N[(b / a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], -1.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Target

Original	20.5
Target	18.9
Herbie	17.0

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z < -1.3793337487235141 \cdot 10^{+129}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(\frac{1}{y} - \frac{\frac{0.3333333333333333}{z}}{t}\right) - \frac{\frac{a}{3}}{b}\\ \mathbf{elif}\;z < 3.516290613555987 \cdot 10^{+106}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{x} \cdot 2\right) \cdot \cos \left(y - \frac{t}{3} \cdot z\right) - \frac{\frac{a}{3}}{b}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(y - \frac{\frac{0.3333333333333333}{z}}{t}\right) \cdot \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) - \frac{\frac{a}{b}}{3}\\ \end{array} \]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (-.f64 y (/.f64 (*.f64 z t) 3)) < -4.99999999999999964e224

   1. Initial program 37.1

      \[\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(y - \frac{z \cdot t}{3}\right) - \frac{a}{b \cdot 3} \]

   2. Applied egg-rr 40.7

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot 4\right) \cdot {\cos \left(y + \left(z \cdot t\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}^{2}}} - \frac{a}{b \cdot 3} \]

   3. Simplified 40.7

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{\cos \left(y + \left(t \cdot z\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}^{2} \cdot \left(x \cdot 4\right)}} - \frac{a}{b \cdot 3} \]
      Proof

      [Start] 40.7	\[ \sqrt{\left(x \cdot 4\right) \cdot {\cos \left(y + \left(z \cdot t\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}^{2}} - \frac{a}{b \cdot 3} \]
      *-commutative [=>] 40.7	\[ \sqrt{\color{blue}{{\cos \left(y + \left(z \cdot t\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}^{2} \cdot \left(x \cdot 4\right)}} - \frac{a}{b \cdot 3} \]

   4. Applied egg-rr 40.7

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(0.5 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(t, z \cdot -0.3333333333333333, y\right) \cdot 2\right) + 0.5\right)} \cdot \left(x \cdot 4\right)} - \frac{a}{b \cdot 3} \]

   5. Taylor expanded in t around 0 28.3

      \[\leadsto \sqrt{\left(0.5 \cdot \color{blue}{\cos \left(2 \cdot y\right)} + 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 4\right)} - \frac{a}{b \cdot 3} \]

   if -4.99999999999999964e224 < (-.f64 y (/.f64 (*.f64 z t) 3)) < 1e297

   1. Initial program 13.6

      \[\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(y - \frac{z \cdot t}{3}\right) - \frac{a}{b \cdot 3} \]

   2. Simplified 13.7

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(y - \frac{z}{3} \cdot t\right) - \frac{a}{3 \cdot b}} \]
      Proof

      [Start] 13.6	\[ \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(y - \frac{z \cdot t}{3}\right) - \frac{a}{b \cdot 3} \]
      associate-*l* [=>] 13.6	\[ \color{blue}{2 \cdot \left(\sqrt{x} \cdot \cos \left(y - \frac{z \cdot t}{3}\right)\right)} - \frac{a}{b \cdot 3} \]
      associate-*l* [<=] 13.6	\[ \color{blue}{\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(y - \frac{z \cdot t}{3}\right)} - \frac{a}{b \cdot 3} \]
      remove-double-neg [<=] 13.6	\[ \color{blue}{\left(-\left(-\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(y - \frac{z \cdot t}{3}\right)\right)\right)} - \frac{a}{b \cdot 3} \]
      neg-mul-1 [=>] 13.6	\[ \color{blue}{-1 \cdot \left(-\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(y - \frac{z \cdot t}{3}\right)\right)} - \frac{a}{b \cdot 3} \]
      neg-mul-1 [<=] 13.6	\[ \color{blue}{\left(-\left(-\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(y - \frac{z \cdot t}{3}\right)\right)\right)} - \frac{a}{b \cdot 3} \]
      remove-double-neg [=>] 13.6	\[ \color{blue}{\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(y - \frac{z \cdot t}{3}\right)} - \frac{a}{b \cdot 3} \]
      associate-*l/ [<=] 13.7	\[ \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(y - \color{blue}{\frac{z}{3} \cdot t}\right) - \frac{a}{b \cdot 3} \]
      *-commutative [=>] 13.7	\[ \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(y - \frac{z}{3} \cdot t\right) - \frac{a}{\color{blue}{3 \cdot b}} \]

   3. Applied egg-rr 13.2

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 4} \cdot \left(\cos y \cdot \cos \left(\left(z \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot t\right)\right) + \sqrt{x \cdot 4} \cdot \left(\sin y \cdot \sin \left(\left(z \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot t\right)\right)\right)} - \frac{a}{3 \cdot b} \]

   4. Simplified 13.2

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos y, \cos \left(z \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot t\right)\right), \sin y \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \left(t \cdot z\right)\right)\right) \cdot \sqrt{x \cdot 4}} - \frac{a}{3 \cdot b} \]
      Proof

      [Start] 13.2	\[ \left(\sqrt{x \cdot 4} \cdot \left(\cos y \cdot \cos \left(\left(z \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot t\right)\right) + \sqrt{x \cdot 4} \cdot \left(\sin y \cdot \sin \left(\left(z \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot t\right)\right)\right) - \frac{a}{3 \cdot b} \]
      distribute-lft-out [=>] 13.2	\[ \color{blue}{\sqrt{x \cdot 4} \cdot \left(\cos y \cdot \cos \left(\left(z \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot t\right) + \sin y \cdot \sin \left(\left(z \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot t\right)\right)} - \frac{a}{3 \cdot b} \]
      *-commutative [=>] 13.2	\[ \color{blue}{\left(\cos y \cdot \cos \left(\left(z \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot t\right) + \sin y \cdot \sin \left(\left(z \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot t\right)\right) \cdot \sqrt{x \cdot 4}} - \frac{a}{3 \cdot b} \]

   if 1e297 < (-.f64 y (/.f64 (*.f64 z t) 3))

   1. Initial program 56.0

      \[\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(y - \frac{z \cdot t}{3}\right) - \frac{a}{b \cdot 3} \]

   2. Taylor expanded in z around 0 31.8

      \[\leadsto \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \color{blue}{\cos y} - \frac{a}{b \cdot 3} \]

   3. Applied egg-rr 31.8

      \[\leadsto \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos y - \color{blue}{{\left(3 \cdot \frac{b}{a}\right)}^{-1}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 17.0

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y - \frac{z \cdot t}{3} \leq -5 \cdot 10^{+224}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(y \cdot 2\right)\right) \cdot \left(x \cdot 4\right)} - \frac{a}{3 \cdot b}\\ \mathbf{elif}\;y - \frac{z \cdot t}{3} \leq 10^{+297}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\cos y, \cos \left(z \cdot \left(t \cdot -0.3333333333333333\right)\right), \sin y \cdot \sin \left(\left(z \cdot t\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \sqrt{x \cdot 4} - \frac{a}{3 \cdot b}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos y \cdot \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) - {\left(3 \cdot \frac{b}{a}\right)}^{-1}\\ \end{array} \]

Alternatives

Alternative 1
Error	17.3
Cost	27784

\[\begin{array}{l} t_1 := y - \frac{z \cdot t}{3}\\ t_2 := \frac{a}{3 \cdot b}\\ \mathbf{if}\;t_1 \leq -1 \cdot 10^{+238}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(y \cdot 2\right)\right) \cdot \left(x \cdot 4\right)} - t_2\\ \mathbf{elif}\;t_1 \leq 10^{+297}:\\ \;\;\;\;2 \cdot \left(\sqrt{x} \cdot \cos \left(y - \frac{z}{\frac{{\left(\sqrt[3]{3}\right)}^{3}}{t}}\right)\right) - t_2\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos y \cdot \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) - {\left(3 \cdot \frac{b}{a}\right)}^{-1}\\ \end{array} \]

Alternative 2
Error	20.3
Cost	13897

\[\begin{array}{l} t_1 := 2 \cdot \sqrt{x}\\ t_2 := \frac{a}{3 \cdot b}\\ \mathbf{if}\;t_2 \leq -4 \cdot 10^{-147} \lor \neg \left(t_2 \leq 4 \cdot 10^{-75}\right):\\ \;\;\;\;t_1 - t_2\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos y \cdot t_1\\ \end{array} \]

Alternative 3
Error	17.1
Cost	13504

\[\frac{-0.3333333333333333}{\frac{b}{a}} + 2 \cdot \left(\cos y \cdot \sqrt{x}\right) \]

Alternative 4
Error	17.1
Cost	13504

\[\cos y \cdot \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) + a \cdot \frac{-0.3333333333333333}{b} \]

Alternative 5
Error	17.1
Cost	13504

\[\cos y \cdot \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) - \frac{a}{3 \cdot b} \]

Alternative 6
Error	25.1
Cost	6976

\[2 \cdot \sqrt{x} - \frac{a}{3 \cdot b} \]

Alternative 7
Error	35.9
Cost	320

\[-0.3333333333333333 \cdot \frac{a}{b} \]

Alternative 8
Error	35.9
Cost	320

\[a \cdot \frac{-0.3333333333333333}{b} \]

Alternative 9
Error	35.9
Cost	320

\[\frac{a}{\frac{b}{-0.3333333333333333}} \]

Alternative 10
Error	35.8
Cost	320

\[\frac{\frac{a}{-3}}{b} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023055 
(FPCore (x y z t a b)
  :name "Diagrams.Solve.Polynomial:cubForm  from diagrams-solve-0.1, K"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< z -1.3793337487235141e+129) (- (* (* 2.0 (sqrt x)) (cos (- (/ 1.0 y) (/ (/ 0.3333333333333333 z) t)))) (/ (/ a 3.0) b)) (if (< z 3.516290613555987e+106) (- (* (* (sqrt x) 2.0) (cos (- y (* (/ t 3.0) z)))) (/ (/ a 3.0) b)) (- (* (cos (- y (/ (/ 0.3333333333333333 z) t))) (* 2.0 (sqrt x))) (/ (/ a b) 3.0))))

  (- (* (* 2.0 (sqrt x)) (cos (- y (/ (* z t) 3.0)))) (/ a (* b 3.0))))