math.cos on complex, imaginary part

Average Error: 43.3 → 0.8

Time: 6.2s

Precision: binary64

Cost: 20288

Math

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

↓

\[\left(-2 \cdot im + \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{5} + -0.3333333333333333 \cdot {im}^{3}\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right) \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

↓

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (*
  (+
   (* -2.0 im)
   (+
    (* -0.016666666666666666 (pow im 5.0))
    (* -0.3333333333333333 (pow im 3.0))))
  (* 0.5 (sin re))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}

↓

double code(double re, double im) {
	return ((-2.0 * im) + ((-0.016666666666666666 * pow(im, 5.0)) + (-0.3333333333333333 * pow(im, 3.0)))) * (0.5 * sin(re));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
end function

↓

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (((-2.0d0) * im) + (((-0.016666666666666666d0) * (im ** 5.0d0)) + ((-0.3333333333333333d0) * (im ** 3.0d0)))) * (0.5d0 * sin(re))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
}

↓

public static double code(double re, double im) {
	return ((-2.0 * im) + ((-0.016666666666666666 * Math.pow(im, 5.0)) + (-0.3333333333333333 * Math.pow(im, 3.0)))) * (0.5 * Math.sin(re));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))

↓

def code(re, im):
	return ((-2.0 * im) + ((-0.016666666666666666 * math.pow(im, 5.0)) + (-0.3333333333333333 * math.pow(im, 3.0)))) * (0.5 * math.sin(re))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)))
end

↓

function code(re, im)
	return Float64(Float64(Float64(-2.0 * im) + Float64(Float64(-0.016666666666666666 * (im ^ 5.0)) + Float64(-0.3333333333333333 * (im ^ 3.0)))) * Float64(0.5 * sin(re)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
end

↓

function tmp = code(re, im)
	tmp = ((-2.0 * im) + ((-0.016666666666666666 * (im ^ 5.0)) + (-0.3333333333333333 * (im ^ 3.0)))) * (0.5 * sin(re));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[re_, im_] := N[(N[(N[(-2.0 * im), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.016666666666666666 * N[Power[im, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.3333333333333333 * N[Power[im, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Target

Original	43.3
Target	0.3
Herbie	0.8

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \]

Derivation

1. Initial program 43.3

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

2. Simplified 43.3

   \[\leadsto \color{blue}{\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)} \]
   Proof

   [Start] 43.3	\[ \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   rational.json-simplify-2 [=>] 43.3	\[ \color{blue}{\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)} \]

3. Taylor expanded in im around 0 0.8

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-2 \cdot im + \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{5} + -0.3333333333333333 \cdot {im}^{3}\right)\right)} \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right) \]

4. Final simplification 0.8

   \[\leadsto \left(-2 \cdot im + \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{5} + -0.3333333333333333 \cdot {im}^{3}\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.9
Cost	19904

\[\sin re \cdot \left(-im\right) + {im}^{3} \cdot \left(\sin re \cdot -0.16666666666666666\right) \]

Alternative 2
Error	0.9
Cost	13568

\[\left(-2 \cdot im + -0.3333333333333333 \cdot {im}^{3}\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right) \]

Alternative 3
Error	1.3
Cost	6656

\[\sin re \cdot \left(-im\right) \]

Alternative 4
Error	31.8
Cost	256

\[\left(-im\right) \cdot re \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023053 
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (sin re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))