tanhf (example 3.4)

Average Error: 30.3 → 0.6

Time: 6.2s

Precision: binary64

Cost: 40008

Math

\[\frac{1 - \cos x}{\sin x} \]

↓

\[\begin{array}{l} t_0 := \frac{1 - \cos x}{\sin x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq -0.002:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;t_0 \leq 0.005:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot x + \left(0.041666666666666664 \cdot {x}^{3} + 0.004166666666666667 \cdot {x}^{5}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- 1.0 (cos x)) (sin x)))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (- 1.0 (cos x)) (sin x))))
   (if (<= t_0 -0.002)
     t_0
     (if (<= t_0 0.005)
       (+
        (* 0.5 x)
        (+
         (* 0.041666666666666664 (pow x 3.0))
         (* 0.004166666666666667 (pow x 5.0))))
       t_0))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 - cos(x)) / sin(x);
}

↓

double code(double x) {
	double t_0 = (1.0 - cos(x)) / sin(x);
	double tmp;
	if (t_0 <= -0.002) {
		tmp = t_0;
	} else if (t_0 <= 0.005) {
		tmp = (0.5 * x) + ((0.041666666666666664 * pow(x, 3.0)) + (0.004166666666666667 * pow(x, 5.0)));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (1.0d0 - cos(x)) / sin(x)
end function

↓

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (1.0d0 - cos(x)) / sin(x)
    if (t_0 <= (-0.002d0)) then
        tmp = t_0
    else if (t_0 <= 0.005d0) then
        tmp = (0.5d0 * x) + ((0.041666666666666664d0 * (x ** 3.0d0)) + (0.004166666666666667d0 * (x ** 5.0d0)))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 - Math.cos(x)) / Math.sin(x);
}

↓

public static double code(double x) {
	double t_0 = (1.0 - Math.cos(x)) / Math.sin(x);
	double tmp;
	if (t_0 <= -0.002) {
		tmp = t_0;
	} else if (t_0 <= 0.005) {
		tmp = (0.5 * x) + ((0.041666666666666664 * Math.pow(x, 3.0)) + (0.004166666666666667 * Math.pow(x, 5.0)));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	return (1.0 - math.cos(x)) / math.sin(x)

↓

def code(x):
	t_0 = (1.0 - math.cos(x)) / math.sin(x)
	tmp = 0
	if t_0 <= -0.002:
		tmp = t_0
	elif t_0 <= 0.005:
		tmp = (0.5 * x) + ((0.041666666666666664 * math.pow(x, 3.0)) + (0.004166666666666667 * math.pow(x, 5.0)))
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 - cos(x)) / sin(x))
end

↓

function code(x)
	t_0 = Float64(Float64(1.0 - cos(x)) / sin(x))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= -0.002)
		tmp = t_0;
	elseif (t_0 <= 0.005)
		tmp = Float64(Float64(0.5 * x) + Float64(Float64(0.041666666666666664 * (x ^ 3.0)) + Float64(0.004166666666666667 * (x ^ 5.0))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 - cos(x)) / sin(x);
end

↓

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = (1.0 - cos(x)) / sin(x);
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= -0.002)
		tmp = t_0;
	elseif (t_0 <= 0.005)
		tmp = (0.5 * x) + ((0.041666666666666664 * (x ^ 3.0)) + (0.004166666666666667 * (x ^ 5.0)));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 - N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(1.0 - N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, -0.002], t$95$0, If[LessEqual[t$95$0, 0.005], N[(N[(0.5 * x), $MachinePrecision] + N[(N[(0.041666666666666664 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.004166666666666667 * N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]]

Target

Original	30.3
Target	0.0
Herbie	0.6

\[\tan \left(\frac{x}{2}\right) \]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f64 (-.f64 1 (cos.f64 x)) (sin.f64 x)) < -2e-3 or 0.0050000000000000001 < (/.f64 (-.f64 1 (cos.f64 x)) (sin.f64 x))

   1. Initial program 0.9

      \[\frac{1 - \cos x}{\sin x} \]

   if -2e-3 < (/.f64 (-.f64 1 (cos.f64 x)) (sin.f64 x)) < 0.0050000000000000001

   1. Initial program 59.7

      \[\frac{1 - \cos x}{\sin x} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 0.2

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot x + \left(0.004166666666666667 \cdot {x}^{5} + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)} \]

   3. Simplified 0.2

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot x + \left(0.041666666666666664 \cdot {x}^{3} + 0.004166666666666667 \cdot {x}^{5}\right)} \]
      Proof

      [Start] 0.2	\[ 0.5 \cdot x + \left(0.004166666666666667 \cdot {x}^{5} + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right) \]
      rational.json-simplify-1 [=>] 0.2	\[ 0.5 \cdot x + \color{blue}{\left(0.041666666666666664 \cdot {x}^{3} + 0.004166666666666667 \cdot {x}^{5}\right)} \]

3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 0.6

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{1 - \cos x}{\sin x} \leq -0.002:\\ \;\;\;\;\frac{1 - \cos x}{\sin x}\\ \mathbf{elif}\;\frac{1 - \cos x}{\sin x} \leq 0.005:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot x + \left(0.041666666666666664 \cdot {x}^{3} + 0.004166666666666667 \cdot {x}^{5}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1 - \cos x}{\sin x}\\ \end{array} \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.5
Cost	39496

\[\begin{array}{l} t_0 := \frac{1 - \cos x}{\sin x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq -0.002:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;t_0 \leq 0.0001:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot x + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \]

Alternative 2
Error	31.2
Cost	192

\[0.5 \cdot x \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023053 
(FPCore (x)
  :name "tanhf (example 3.4)"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (tan (/ x 2.0))

  (/ (- 1.0 (cos x)) (sin x)))