Curve intersection, scale width based on ribbon orientation

Average Error: 0.9 → 0.4

Time: 21.7s

Precision: binary32

Cost: 7392

\[\left(\left(\left(0 \leq normAngle \land normAngle \leq \frac{\pi}{2}\right) \land \left(-1 \leq n0_i \land n0_i \leq 1\right)\right) \land \left(-1 \leq n1_i \land n1_i \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u \land u \leq 1\right)\]

Math

\[\left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0_i + \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1_i \]

↓

\[n1_i \cdot u + \left(\left(n1_i \cdot \left(u \cdot 0.16666666666666666\right) - n0_i \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left({\left(1 - u\right)}^{3} + \left(u + -1\right)\right)\right)\right) \cdot {normAngle}^{2} + n0_i \cdot \left(1 - u\right)\right) \]

FPCore

(FPCore (normAngle u n0_i n1_i)
 :precision binary32
 (+
  (* (* (sin (* (- 1.0 u) normAngle)) (/ 1.0 (sin normAngle))) n0_i)
  (* (* (sin (* u normAngle)) (/ 1.0 (sin normAngle))) n1_i)))

↓

(FPCore (normAngle u n0_i n1_i)
 :precision binary32
 (+
  (* n1_i u)
  (+
   (*
    (-
     (* n1_i (* u 0.16666666666666666))
     (* n0_i (* 0.16666666666666666 (+ (pow (- 1.0 u) 3.0) (+ u -1.0)))))
    (pow normAngle 2.0))
   (* n0_i (- 1.0 u)))))

C

float code(float normAngle, float u, float n0_i, float n1_i) {
	return ((sinf(((1.0f - u) * normAngle)) * (1.0f / sinf(normAngle))) * n0_i) + ((sinf((u * normAngle)) * (1.0f / sinf(normAngle))) * n1_i);
}

↓

float code(float normAngle, float u, float n0_i, float n1_i) {
	return (n1_i * u) + ((((n1_i * (u * 0.16666666666666666f)) - (n0_i * (0.16666666666666666f * (powf((1.0f - u), 3.0f) + (u + -1.0f))))) * powf(normAngle, 2.0f)) + (n0_i * (1.0f - u)));
}

Fortran

real(4) function code(normangle, u, n0_i, n1_i)
    real(4), intent (in) :: normangle
    real(4), intent (in) :: u
    real(4), intent (in) :: n0_i
    real(4), intent (in) :: n1_i
    code = ((sin(((1.0e0 - u) * normangle)) * (1.0e0 / sin(normangle))) * n0_i) + ((sin((u * normangle)) * (1.0e0 / sin(normangle))) * n1_i)
end function

↓

real(4) function code(normangle, u, n0_i, n1_i)
    real(4), intent (in) :: normangle
    real(4), intent (in) :: u
    real(4), intent (in) :: n0_i
    real(4), intent (in) :: n1_i
    code = (n1_i * u) + ((((n1_i * (u * 0.16666666666666666e0)) - (n0_i * (0.16666666666666666e0 * (((1.0e0 - u) ** 3.0e0) + (u + (-1.0e0)))))) * (normangle ** 2.0e0)) + (n0_i * (1.0e0 - u)))
end function

Julia

function code(normAngle, u, n0_i, n1_i)
	return Float32(Float32(Float32(sin(Float32(Float32(Float32(1.0) - u) * normAngle)) * Float32(Float32(1.0) / sin(normAngle))) * n0_i) + Float32(Float32(sin(Float32(u * normAngle)) * Float32(Float32(1.0) / sin(normAngle))) * n1_i))
end

↓

function code(normAngle, u, n0_i, n1_i)
	return Float32(Float32(n1_i * u) + Float32(Float32(Float32(Float32(n1_i * Float32(u * Float32(0.16666666666666666))) - Float32(n0_i * Float32(Float32(0.16666666666666666) * Float32((Float32(Float32(1.0) - u) ^ Float32(3.0)) + Float32(u + Float32(-1.0)))))) * (normAngle ^ Float32(2.0))) + Float32(n0_i * Float32(Float32(1.0) - u))))
end

MATLAB

function tmp = code(normAngle, u, n0_i, n1_i)
	tmp = ((sin(((single(1.0) - u) * normAngle)) * (single(1.0) / sin(normAngle))) * n0_i) + ((sin((u * normAngle)) * (single(1.0) / sin(normAngle))) * n1_i);
end

↓

function tmp = code(normAngle, u, n0_i, n1_i)
	tmp = (n1_i * u) + ((((n1_i * (u * single(0.16666666666666666))) - (n0_i * (single(0.16666666666666666) * (((single(1.0) - u) ^ single(3.0)) + (u + single(-1.0)))))) * (normAngle ^ single(2.0))) + (n0_i * (single(1.0) - u)));
end

Derivation

1. Initial program 0.9

   \[\left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0_i + \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1_i \]

2. Simplified 8.2

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(\sin \left(normAngle - u \cdot normAngle\right), n0_i, \sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot n1_i\right)}{\sin normAngle}} \]
   Proof

   [Start] 0.9	\[ \left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0_i + \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1_i \]
   *-commutative [=>] 0.9	\[ \color{blue}{\left(\frac{1}{\sin normAngle} \cdot \sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right)\right)} \cdot n0_i + \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1_i \]
   associate-*l* [=>] 6.0	\[ \color{blue}{\frac{1}{\sin normAngle} \cdot \left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot n0_i\right)} + \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1_i \]
   *-commutative [=>] 6.0	\[ \frac{1}{\sin normAngle} \cdot \left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot n0_i\right) + \color{blue}{\left(\frac{1}{\sin normAngle} \cdot \sin \left(u \cdot normAngle\right)\right)} \cdot n1_i \]
   associate-*l* [=>] 8.3	\[ \frac{1}{\sin normAngle} \cdot \left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot n0_i\right) + \color{blue}{\frac{1}{\sin normAngle} \cdot \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot n1_i\right)} \]
   distribute-lft-out [=>] 8.3	\[ \color{blue}{\frac{1}{\sin normAngle} \cdot \left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot n0_i + \sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot n1_i\right)} \]
   +-commutative [<=] 8.3	\[ \frac{1}{\sin normAngle} \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot n1_i + \sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot n0_i\right)} \]
   associate-*l/ [=>] 8.2	\[ \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot n1_i + \sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot n0_i\right)}{\sin normAngle}} \]
   *-commutative [=>] 8.2	\[ \frac{\color{blue}{\left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot n1_i + \sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot n0_i\right) \cdot 1}}{\sin normAngle} \]
   associate-/l* [=>] 8.2	\[ \color{blue}{\frac{\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot n1_i + \sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot n0_i}{\frac{\sin normAngle}{1}}} \]
   /-rgt-identity [=>] 8.2	\[ \frac{\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot n1_i + \sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot n0_i}{\color{blue}{\sin normAngle}} \]

3. Taylor expanded in u around 0 8.3

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \left(normAngle - u \cdot normAngle\right), n0_i, \color{blue}{n1_i \cdot \left(u \cdot normAngle\right)}\right)}{\sin normAngle} \]

4. Taylor expanded in normAngle around 0 0.4

   \[\leadsto \color{blue}{n1_i \cdot u + \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({\left(1 - u\right)}^{3} \cdot n0_i\right) - -0.16666666666666666 \cdot \left(n1_i \cdot u + \left(1 - u\right) \cdot n0_i\right)\right) \cdot {normAngle}^{2} + \left(1 - u\right) \cdot n0_i\right)} \]

5. Taylor expanded in u around 0 0.4

   \[\leadsto n1_i \cdot u + \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({\left(1 - u\right)}^{3} \cdot n0_i\right) - \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\left(n1_i + -1 \cdot n0_i\right) \cdot u\right) + -0.16666666666666666 \cdot n0_i\right)}\right) \cdot {normAngle}^{2} + \left(1 - u\right) \cdot n0_i\right) \]

6. Simplified 0.4

   \[\leadsto n1_i \cdot u + \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({\left(1 - u\right)}^{3} \cdot n0_i\right) - \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\left(n1_i + \left(-n0_i\right)\right) \cdot u + n0_i\right)}\right) \cdot {normAngle}^{2} + \left(1 - u\right) \cdot n0_i\right) \]
   Proof

   [Start] 0.4	\[ n1_i \cdot u + \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({\left(1 - u\right)}^{3} \cdot n0_i\right) - \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\left(n1_i + -1 \cdot n0_i\right) \cdot u\right) + -0.16666666666666666 \cdot n0_i\right)\right) \cdot {normAngle}^{2} + \left(1 - u\right) \cdot n0_i\right) \]
   distribute-lft-out [=>] 0.4	\[ n1_i \cdot u + \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({\left(1 - u\right)}^{3} \cdot n0_i\right) - \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\left(n1_i + -1 \cdot n0_i\right) \cdot u + n0_i\right)}\right) \cdot {normAngle}^{2} + \left(1 - u\right) \cdot n0_i\right) \]
   mul-1-neg [=>] 0.4	\[ n1_i \cdot u + \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \left({\left(1 - u\right)}^{3} \cdot n0_i\right) - -0.16666666666666666 \cdot \left(\left(n1_i + \color{blue}{\left(-n0_i\right)}\right) \cdot u + n0_i\right)\right) \cdot {normAngle}^{2} + \left(1 - u\right) \cdot n0_i\right) \]

7. Taylor expanded in n0_i around -inf 0.4

   \[\leadsto n1_i \cdot u + \left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \left(n0_i \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(1 - u\right)}^{3} - -0.16666666666666666 \cdot \left(u - 1\right)\right)\right) + 0.16666666666666666 \cdot \left(n1_i \cdot u\right)\right)} \cdot {normAngle}^{2} + \left(1 - u\right) \cdot n0_i\right) \]

8. Simplified 0.4

   \[\leadsto n1_i \cdot u + \left(\color{blue}{\left(n1_i \cdot \left(u \cdot 0.16666666666666666\right) - n0_i \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left({\left(1 - u\right)}^{3} + \left(u + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot {normAngle}^{2} + \left(1 - u\right) \cdot n0_i\right) \]
   Proof

   [Start] 0.4	\[ n1_i \cdot u + \left(\left(-1 \cdot \left(n0_i \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(1 - u\right)}^{3} - -0.16666666666666666 \cdot \left(u - 1\right)\right)\right) + 0.16666666666666666 \cdot \left(n1_i \cdot u\right)\right) \cdot {normAngle}^{2} + \left(1 - u\right) \cdot n0_i\right) \]
   +-commutative [=>] 0.4	\[ n1_i \cdot u + \left(\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(n1_i \cdot u\right) + -1 \cdot \left(n0_i \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(1 - u\right)}^{3} - -0.16666666666666666 \cdot \left(u - 1\right)\right)\right)\right)} \cdot {normAngle}^{2} + \left(1 - u\right) \cdot n0_i\right) \]
   mul-1-neg [=>] 0.4	\[ n1_i \cdot u + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot \left(n1_i \cdot u\right) + \color{blue}{\left(-n0_i \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(1 - u\right)}^{3} - -0.16666666666666666 \cdot \left(u - 1\right)\right)\right)}\right) \cdot {normAngle}^{2} + \left(1 - u\right) \cdot n0_i\right) \]
   unsub-neg [=>] 0.4	\[ n1_i \cdot u + \left(\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(n1_i \cdot u\right) - n0_i \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(1 - u\right)}^{3} - -0.16666666666666666 \cdot \left(u - 1\right)\right)\right)} \cdot {normAngle}^{2} + \left(1 - u\right) \cdot n0_i\right) \]
   *-commutative [=>] 0.4	\[ n1_i \cdot u + \left(\left(\color{blue}{\left(n1_i \cdot u\right) \cdot 0.16666666666666666} - n0_i \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(1 - u\right)}^{3} - -0.16666666666666666 \cdot \left(u - 1\right)\right)\right) \cdot {normAngle}^{2} + \left(1 - u\right) \cdot n0_i\right) \]
   associate-*l* [=>] 0.4	\[ n1_i \cdot u + \left(\left(\color{blue}{n1_i \cdot \left(u \cdot 0.16666666666666666\right)} - n0_i \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(1 - u\right)}^{3} - -0.16666666666666666 \cdot \left(u - 1\right)\right)\right) \cdot {normAngle}^{2} + \left(1 - u\right) \cdot n0_i\right) \]
   cancel-sign-sub-inv [=>] 0.4	\[ n1_i \cdot u + \left(\left(n1_i \cdot \left(u \cdot 0.16666666666666666\right) - n0_i \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {\left(1 - u\right)}^{3} + \left(--0.16666666666666666\right) \cdot \left(u - 1\right)\right)}\right) \cdot {normAngle}^{2} + \left(1 - u\right) \cdot n0_i\right) \]
   metadata-eval [=>] 0.4	\[ n1_i \cdot u + \left(\left(n1_i \cdot \left(u \cdot 0.16666666666666666\right) - n0_i \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(1 - u\right)}^{3} + \color{blue}{0.16666666666666666} \cdot \left(u - 1\right)\right)\right) \cdot {normAngle}^{2} + \left(1 - u\right) \cdot n0_i\right) \]
   distribute-lft-out [=>] 0.4	\[ n1_i \cdot u + \left(\left(n1_i \cdot \left(u \cdot 0.16666666666666666\right) - n0_i \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left({\left(1 - u\right)}^{3} + \left(u - 1\right)\right)\right)}\right) \cdot {normAngle}^{2} + \left(1 - u\right) \cdot n0_i\right) \]
   sub-neg [=>] 0.4	\[ n1_i \cdot u + \left(\left(n1_i \cdot \left(u \cdot 0.16666666666666666\right) - n0_i \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left({\left(1 - u\right)}^{3} + \color{blue}{\left(u + \left(-1\right)\right)}\right)\right)\right) \cdot {normAngle}^{2} + \left(1 - u\right) \cdot n0_i\right) \]
   metadata-eval [=>] 0.4	\[ n1_i \cdot u + \left(\left(n1_i \cdot \left(u \cdot 0.16666666666666666\right) - n0_i \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left({\left(1 - u\right)}^{3} + \left(u + \color{blue}{-1}\right)\right)\right)\right) \cdot {normAngle}^{2} + \left(1 - u\right) \cdot n0_i\right) \]

9. Final simplification 0.4

   \[\leadsto n1_i \cdot u + \left(\left(n1_i \cdot \left(u \cdot 0.16666666666666666\right) - n0_i \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left({\left(1 - u\right)}^{3} + \left(u + -1\right)\right)\right)\right) \cdot {normAngle}^{2} + n0_i \cdot \left(1 - u\right)\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.4
Cost	3968

\[n1_i \cdot u + \left({normAngle}^{2} \cdot \left(u \cdot \left(n0_i \cdot 0.5 + 0.16666666666666666 \cdot \left(n1_i - n0_i\right)\right)\right) + \left(n0_i - u \cdot n0_i\right)\right) \]

Alternative 2
Error	0.4
Cost	3904

\[n1_i \cdot u + \left(n0_i \cdot \left(1 - u\right) + {normAngle}^{2} \cdot \left(u \cdot \left(n0_i \cdot 0.3333333333333333 + n1_i \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right) \]

Alternative 3
Error	0.5
Cost	3776

\[n1_i \cdot u + \left(n0_i \cdot \left(1 - u\right) + {normAngle}^{2} \cdot \left(u \cdot \left(n1_i \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right) \]

Alternative 4
Error	0.6
Cost	3360

\[\mathsf{fma}\left(u, n1_i - n0_i, n0_i\right) \]

Alternative 5
Error	9.2
Cost	297

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;n0_i \leq -6.50000019762268 \cdot 10^{-21} \lor \neg \left(n0_i \leq 2.0000000390829628 \cdot 10^{-24}\right):\\ \;\;\;\;n0_i \cdot \left(1 - u\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;n1_i \cdot u\\ \end{array} \]

Alternative 6
Error	4.6
Cost	297

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;n1_i \leq -1.2000000038052922 \cdot 10^{-29} \lor \neg \left(n1_i \leq 1.9999999996399175 \cdot 10^{-23}\right):\\ \;\;\;\;n1_i \cdot u + n0_i\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;n0_i \cdot \left(1 - u\right)\\ \end{array} \]

Alternative 7
Error	4.5
Cost	297

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;n1_i \leq -1.2000000038052922 \cdot 10^{-29} \lor \neg \left(n1_i \leq 1.9999999996399175 \cdot 10^{-23}\right):\\ \;\;\;\;n1_i \cdot u + n0_i\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;n0_i - u \cdot n0_i\\ \end{array} \]

Alternative 8
Error	0.7
Cost	288

\[n1_i \cdot u + n0_i \cdot \left(1 - u\right) \]

Alternative 9
Error	12.3
Cost	232

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;n0_i \leq -6.50000019762268 \cdot 10^{-21}:\\ \;\;\;\;n0_i\\ \mathbf{elif}\;n0_i \leq 5.999999809593135 \cdot 10^{-22}:\\ \;\;\;\;n1_i \cdot u\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;n0_i\\ \end{array} \]

Alternative 10
Error	0.6
Cost	224

\[n0_i + u \cdot \left(n1_i - n0_i\right) \]

Alternative 11
Error	17.0
Cost	32

\[n0_i \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023046 
(FPCore (normAngle u n0_i n1_i)
  :name "Curve intersection, scale width based on ribbon orientation"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (<= 0.0 normAngle) (<= normAngle (/ PI 2.0))) (and (<= -1.0 n0_i) (<= n0_i 1.0))) (and (<= -1.0 n1_i) (<= n1_i 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 u) (<= u 1.0)))
  (+ (* (* (sin (* (- 1.0 u) normAngle)) (/ 1.0 (sin normAngle))) n0_i) (* (* (sin (* u normAngle)) (/ 1.0 (sin normAngle))) n1_i)))