ENA, Section 1.4, Mentioned, A

Average Error: 30.1 → 0.0

Time: 7.4s

Precision: binary64

Cost: 6976

\[-0.01 \leq x \land x \leq 0.01\]

Math

\[1 - \cos x \]

↓

\[x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.041666666666666664, 0.5\right)\right) \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- 1.0 (cos x)))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* x (* x (fma x (* x -0.041666666666666664) 0.5))))

C

double code(double x) {
	return 1.0 - cos(x);
}

↓

double code(double x) {
	return x * (x * fma(x, (x * -0.041666666666666664), 0.5));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 - cos(x))
end

↓

function code(x)
	return Float64(x * Float64(x * fma(x, Float64(x * -0.041666666666666664), 0.5)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 - N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[x_] := N[(x * N[(x * N[(x * N[(x * -0.041666666666666664), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Target

Original	30.1
Target	0.0
Herbie	0.0

\[\frac{\sin x \cdot \sin x}{1 + \cos x} \]

Derivation

1. Initial program 30.1

   \[1 - \cos x \]

2. Applied egg-rr 0.0

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin x \cdot \sin x\right) \cdot \frac{1}{1 + \cos x}} \]

3. Simplified 0.0

   \[\leadsto \color{blue}{\sin x \cdot \tan \left(\frac{x}{2}\right)} \]
   Proof

   [Start] 0.0	\[ \left(\sin x \cdot \sin x\right) \cdot \frac{1}{1 + \cos x} \]
   associate-*r/ [=>] 0.0	\[ \color{blue}{\frac{\left(\sin x \cdot \sin x\right) \cdot 1}{1 + \cos x}} \]
   *-rgt-identity [=>] 0.0	\[ \frac{\color{blue}{\sin x \cdot \sin x}}{1 + \cos x} \]
   associate-*r/ [<=] 0.0	\[ \color{blue}{\sin x \cdot \frac{\sin x}{1 + \cos x}} \]
   hang-0p-tan [=>] 0.0	\[ \sin x \cdot \color{blue}{\tan \left(\frac{x}{2}\right)} \]

4. Taylor expanded in x around 0 0.0

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot {x}^{2} + -0.041666666666666664 \cdot {x}^{4}} \]

5. Simplified 0.0

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.041666666666666664, 0.5\right)} \]
   Proof

   [Start] 0.0	\[ 0.5 \cdot {x}^{2} + -0.041666666666666664 \cdot {x}^{4} \]
   +-commutative [=>] 0.0	\[ \color{blue}{-0.041666666666666664 \cdot {x}^{4} + 0.5 \cdot {x}^{2}} \]
   *-commutative [=>] 0.0	\[ \color{blue}{{x}^{4} \cdot -0.041666666666666664} + 0.5 \cdot {x}^{2} \]
   metadata-eval [<=] 0.0	\[ {x}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 2\right)}} \cdot -0.041666666666666664 + 0.5 \cdot {x}^{2} \]
   pow-sqr [<=] 0.0	\[ \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} \cdot -0.041666666666666664 + 0.5 \cdot {x}^{2} \]
   associate-*l* [=>] 0.0	\[ \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.041666666666666664\right)} + 0.5 \cdot {x}^{2} \]
   *-commutative [=>] 0.0	\[ {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.041666666666666664\right) + \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.5} \]
   distribute-lft-out [=>] 0.0	\[ \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.041666666666666664 + 0.5\right)} \]
   unpow2 [=>] 0.0	\[ \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.041666666666666664 + 0.5\right) \]
   unpow2 [=>] 0.0	\[ \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot -0.041666666666666664 + 0.5\right) \]
   associate-*l* [=>] 0.0	\[ \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot -0.041666666666666664\right)} + 0.5\right) \]
   fma-def [=>] 0.0	\[ \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.041666666666666664, 0.5\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0 0.0

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot {x}^{2} + -0.041666666666666664 \cdot {x}^{4}} \]

7. Simplified 0.0

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, -0.041666666666666664 \cdot x, 0.5\right)\right)} \]
   Proof

   [Start] 0.0	\[ 0.5 \cdot {x}^{2} + -0.041666666666666664 \cdot {x}^{4} \]
   *-commutative [=>] 0.0	\[ \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.5} + -0.041666666666666664 \cdot {x}^{4} \]
   unpow2 [=>] 0.0	\[ \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.5 + -0.041666666666666664 \cdot {x}^{4} \]
   *-commutative [=>] 0.0	\[ \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 + \color{blue}{{x}^{4} \cdot -0.041666666666666664} \]
   metadata-eval [<=] 0.0	\[ \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 + {x}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 2\right)}} \cdot -0.041666666666666664 \]
   pow-sqr [<=] 0.0	\[ \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 + \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} \cdot -0.041666666666666664 \]
   unpow2 [=>] 0.0	\[ \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 + \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot {x}^{2}\right) \cdot -0.041666666666666664 \]
   unpow2 [=>] 0.0	\[ \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) \cdot -0.041666666666666664 \]
   associate-*r* [<=] 0.0	\[ \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.041666666666666664\right)} \]
   associate-*r* [<=] 0.0	\[ \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot -0.041666666666666664\right)\right)} \]
   distribute-lft-out [=>] 0.0	\[ \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot -0.041666666666666664\right)\right)} \]
   +-commutative [<=] 0.0	\[ \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot -0.041666666666666664\right) + 0.5\right)} \]
   fma-udef [<=] 0.0	\[ \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.041666666666666664, 0.5\right)} \]
   associate-*r* [<=] 0.0	\[ \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.041666666666666664, 0.5\right)\right)} \]
   *-commutative [=>] 0.0	\[ x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{-0.041666666666666664 \cdot x}, 0.5\right)\right) \]

8. Final simplification 0.0

   \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.041666666666666664, 0.5\right)\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.0
Cost	832

\[x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot -0.041666666666666664\right)\right) + x \cdot 0.5\right) \]

Alternative 2
Error	0.7
Cost	576

\[\frac{1}{0.16666666666666666 + \frac{2}{x \cdot x}} \]

Alternative 3
Error	0.3
Cost	320

\[0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

Alternative 4
Error	61.4
Cost	64

\[6 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023046 
(FPCore (x)
  :name "ENA, Section 1.4, Mentioned, A"
  :precision binary64
  :pre (and (<= -0.01 x) (<= x 0.01))

  :herbie-target
  (/ (* (sin x) (sin x)) (+ 1.0 (cos x)))

  (- 1.0 (cos x)))