FastMath dist4

Average Error: 0.0 → 0.0

Time: 7.0s

Precision: binary64

Cost: 6976

\[ \begin{array}{c}[d2, d4] = \mathsf{sort}([d2, d4])\\ \end{array} \]

Math

\[\left(\left(d1 \cdot d2 - d1 \cdot d3\right) + d4 \cdot d1\right) - d1 \cdot d1 \]

↓

\[\mathsf{fma}\left(d4 - \left(d1 + d3\right), d1, d1 \cdot d2\right) \]

FPCore

(FPCore (d1 d2 d3 d4)
 :precision binary64
 (- (+ (- (* d1 d2) (* d1 d3)) (* d4 d1)) (* d1 d1)))

↓

(FPCore (d1 d2 d3 d4) :precision binary64 (fma (- d4 (+ d1 d3)) d1 (* d1 d2)))

C

double code(double d1, double d2, double d3, double d4) {
	return (((d1 * d2) - (d1 * d3)) + (d4 * d1)) - (d1 * d1);
}

↓

double code(double d1, double d2, double d3, double d4) {
	return fma((d4 - (d1 + d3)), d1, (d1 * d2));
}

Julia

function code(d1, d2, d3, d4)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(d1 * d2) - Float64(d1 * d3)) + Float64(d4 * d1)) - Float64(d1 * d1))
end

↓

function code(d1, d2, d3, d4)
	return fma(Float64(d4 - Float64(d1 + d3)), d1, Float64(d1 * d2))
end

Wolfram

code[d1_, d2_, d3_, d4_] := N[(N[(N[(N[(d1 * d2), $MachinePrecision] - N[(d1 * d3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(d4 * d1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(d1 * d1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[d1_, d2_, d3_, d4_] := N[(N[(d4 - N[(d1 + d3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * d1 + N[(d1 * d2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Target

Original	0.0
Target	0.0
Herbie	0.0

\[d1 \cdot \left(\left(\left(d2 - d3\right) + d4\right) - d1\right) \]

Derivation

1. Initial program 0.0

   \[\left(\left(d1 \cdot d2 - d1 \cdot d3\right) + d4 \cdot d1\right) - d1 \cdot d1 \]

2. Simplified 0.0

   \[\leadsto \color{blue}{d1 \cdot \left(\left(d2 - d3\right) + \left(d4 - d1\right)\right)} \]
   Proof

   [Start] 0.0	\[ \left(\left(d1 \cdot d2 - d1 \cdot d3\right) + d4 \cdot d1\right) - d1 \cdot d1 \]
   associate--l+ [=>] 0.0	\[ \color{blue}{\left(d1 \cdot d2 - d1 \cdot d3\right) + \left(d4 \cdot d1 - d1 \cdot d1\right)} \]
   distribute-lft-out-- [=>] 0.0	\[ \color{blue}{d1 \cdot \left(d2 - d3\right)} + \left(d4 \cdot d1 - d1 \cdot d1\right) \]
   distribute-rgt-out-- [=>] 0.0	\[ d1 \cdot \left(d2 - d3\right) + \color{blue}{d1 \cdot \left(d4 - d1\right)} \]
   distribute-lft-out [=>] 0.0	\[ \color{blue}{d1 \cdot \left(\left(d2 - d3\right) + \left(d4 - d1\right)\right)} \]

3. Taylor expanded in d2 around 0 0.0

   \[\leadsto \color{blue}{d1 \cdot \left(d4 - \left(d1 + d3\right)\right) + d2 \cdot d1} \]

4. Applied egg-rr 0.0

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(d4 - \left(d1 + d3\right), d1, d1 \cdot d2\right)} \]

5. Final simplification 0.0

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(d4 - \left(d1 + d3\right), d1, d1 \cdot d2\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Error	19.4
Cost	1115

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;d3 \leq -1.72 \cdot 10^{+199} \lor \neg \left(d3 \leq -1.95 \cdot 10^{+169} \lor \neg \left(d3 \leq -9.2 \cdot 10^{+52}\right) \land \left(d3 \leq 1.46 \cdot 10^{+96} \lor \neg \left(d3 \leq 2.8 \cdot 10^{+117}\right) \land d3 \leq 9.5 \cdot 10^{+175}\right)\right):\\ \;\;\;\;d3 \cdot \left(-d1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot \left(d4 + d2\right)\\ \end{array} \]

Alternative 2
Error	28.0
Cost	784

\[\begin{array}{l} t_0 := d3 \cdot \left(-d1\right)\\ \mathbf{if}\;d4 \leq -1.25 \cdot 10^{-174}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot d2\\ \mathbf{elif}\;d4 \leq -2.65 \cdot 10^{-217}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;d4 \leq 4.9 \cdot 10^{-248}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot d2\\ \mathbf{elif}\;d4 \leq 2.3 \cdot 10^{+86}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d4 \cdot d1\\ \end{array} \]

Alternative 3
Error	6.9
Cost	580

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;d1 \leq -2.2 \cdot 10^{+89}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot \left(-d1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot \left(\left(d4 + d2\right) - d3\right)\\ \end{array} \]

Alternative 4
Error	2.7
Cost	580

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;d4 \leq 28000000:\\ \;\;\;\;d1 \cdot \left(d2 - \left(d1 + d3\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot \left(\left(d4 + d2\right) - d3\right)\\ \end{array} \]

Alternative 5
Error	0.0
Cost	576

\[d1 \cdot \left(\left(d2 - d3\right) + \left(d4 - d1\right)\right) \]

Alternative 6
Error	14.4
Cost	452

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;d4 \leq 4.2 \cdot 10^{+85}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot \left(d2 - d3\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot \left(d4 + d2\right)\\ \end{array} \]

Alternative 7
Error	12.2
Cost	452

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;d4 \leq 3.3 \cdot 10^{-48}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot \left(d2 - d3\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot \left(d4 - d3\right)\\ \end{array} \]

Alternative 8
Error	30.0
Cost	324

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;d4 \leq 10^{-46}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot d2\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d4 \cdot d1\\ \end{array} \]

Alternative 9
Error	43.2
Cost	192

\[d4 \cdot d1 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023039 
(FPCore (d1 d2 d3 d4)
  :name "FastMath dist4"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (* d1 (- (+ (- d2 d3) d4) d1))

  (- (+ (- (* d1 d2) (* d1 d3)) (* d4 d1)) (* d1 d1)))