ENA, Section 1.4, Mentioned, A

Average Error: 29.9 → 0.0

Time: 25.8s

Precision: binary64

Cost: 13312

\[-0.01 \leq x \land x \leq 0.01\]

Math

\[1 - \cos x \]

↓

\[\mathsf{fma}\left(x \cdot 0.5, x, {x}^{4} \cdot -0.041666666666666664\right) \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- 1.0 (cos x)))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fma (* x 0.5) x (* (pow x 4.0) -0.041666666666666664)))

C

double code(double x) {
	return 1.0 - cos(x);
}

↓

double code(double x) {
	return fma((x * 0.5), x, (pow(x, 4.0) * -0.041666666666666664));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 - cos(x))
end

↓

function code(x)
	return fma(Float64(x * 0.5), x, Float64((x ^ 4.0) * -0.041666666666666664))
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 - N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[x_] := N[(N[(x * 0.5), $MachinePrecision] * x + N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * -0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Target

Original	29.9
Target	0.0
Herbie	0.0

\[\frac{\sin x \cdot \sin x}{1 + \cos x} \]

Derivation

1. Initial program 29.9

   \[1 - \cos x \]

2. Taylor expanded in x around 0 0.0

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot {x}^{2} + -0.041666666666666664 \cdot {x}^{4}} \]

3. Simplified 0.0

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5, x \cdot x, {x}^{4} \cdot -0.041666666666666664\right)} \]
   Proof

4. Applied egg-rr 0.0

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5 \cdot x, x, -0.041666666666666664 \cdot {x}^{4}\right)} \]

5. Simplified 0.0

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot 0.5, x, {x}^{4} \cdot -0.041666666666666664\right)} \]
   Proof

Alternatives

Alternative 1
Error	0.1
Cost	6976

\[\mathsf{fma}\left(-0.041666666666666664, x \cdot x, 0.5\right) \cdot \left(x \cdot x\right) \]

Alternative 2
Error	0.3
Cost	320

\[0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023033 
(FPCore (x)
  :name "ENA, Section 1.4, Mentioned, A"
  :precision binary64
  :pre (and (<= -0.01 x) (<= x 0.01))

  :herbie-target
  (/ (* (sin x) (sin x)) (+ 1.0 (cos x)))

  (- 1.0 (cos x)))