?

Average Error: 0.1 → 0.1
Time: 2.3min
Precision: binary64
Cost: 13632

?

\[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
↓
\[\mathsf{fma}\left(rand, \frac{a - 0.3333333333333333}{\sqrt{\left(a - 0.3333333333333333\right) \cdot 9}}, a\right) - 0.3333333333333333 \]
(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (*
  (- a (/ 1.0 3.0))
  (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))
↓
(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (-
  (fma
   rand
   (/ (- a 0.3333333333333333) (sqrt (* (- a 0.3333333333333333) 9.0)))
   a)
  0.3333333333333333))
double code(double a, double rand) {
	return (a - (1.0 / 3.0)) * (1.0 + ((1.0 / sqrt((9.0 * (a - (1.0 / 3.0))))) * rand));
}
↓
double code(double a, double rand) {
	return fma(rand, ((a - 0.3333333333333333) / sqrt(((a - 0.3333333333333333) * 9.0))), a) - 0.3333333333333333;
}

function code(a, rand)
	return Float64(Float64(a - Float64(1.0 / 3.0)) * Float64(1.0 + Float64(Float64(1.0 / sqrt(Float64(9.0 * Float64(a - Float64(1.0 / 3.0))))) * rand)))
end
↓
function code(a, rand)
	return Float64(fma(rand, Float64(Float64(a - 0.3333333333333333) / sqrt(Float64(Float64(a - 0.3333333333333333) * 9.0))), a) - 0.3333333333333333)
end

code[a_, rand_] := N[(N[(a - N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(1.0 / N[Sqrt[N[(9.0 * N[(a - N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * rand), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]
↓
code[a_, rand_] := N[(N[(rand * N[(N[(a - 0.3333333333333333), $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(a - 0.3333333333333333), $MachinePrecision] * 9.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + a), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]

\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)
↓
\mathsf{fma}\left(rand, \frac{a - 0.3333333333333333}{\sqrt{\left(a - 0.3333333333333333\right) \cdot 9}}, a\right) - 0.3333333333333333

Error?

Derivation?

  1. Initial program 0.1

    \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

  2. Taylor expanded in rand around 0 0.1

    \[\leadsto \color{blue}{\left(rand \cdot \left(\frac{a}{\sqrt{9 \cdot \left(a - 0.3333333333333333\right)}} - 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - 0.3333333333333333\right)}}\right) + a\right) - 0.3333333333333333} \]

  3. Simplified0.1

    \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(rand, \frac{a - 0.3333333333333333}{\sqrt{\left(a - 0.3333333333333333\right) \cdot 9}}, a\right) - 0.3333333333333333} \]
    Proof

Alternatives

Alternative 1
Error0.1
Cost7616
\[\begin{array}{l} t_0 := a - \frac{1}{3}\\ t_0 \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot t_0}} \cdot rand\right) \end{array} \]
Alternative 2
Error0.8
Cost7296
\[\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{-1}{\sqrt{9 \cdot a}} \cdot \left(-rand\right)\right) \]
Alternative 3
Error6.4
Cost7240
\[\begin{array}{l} t_0 := \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a}} \cdot \left(-0.3333333333333333 + a\right)\\ \mathbf{if}\;rand \leq -2.65 \cdot 10^{+116}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;rand \leq 4 \cdot 10^{+57}:\\ \;\;\;\;a - 0.3333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \]
Alternative 4
Error6.3
Cost7240
\[\begin{array}{l} t_0 := \frac{-0.3333333333333333 + a}{\sqrt{9 \cdot a}} \cdot rand\\ \mathbf{if}\;rand \leq -8 \cdot 10^{+114}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;rand \leq 3.8 \cdot 10^{+57}:\\ \;\;\;\;a - 0.3333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \]
Alternative 5
Error12.3
Cost7112
\[\begin{array}{l} t_0 := \frac{a \cdot rand}{\sqrt{9 \cdot a}}\\ \mathbf{if}\;rand \leq -6.3 \cdot 10^{+128}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;rand \leq 3.6 \cdot 10^{+57}:\\ \;\;\;\;a - 0.3333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \]
Alternative 6
Error0.8
Cost7104
\[\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a}}\right) \]
Alternative 7
Error18.1
Cost192
\[a - 0.3333333333333333 \]

Error

Reproduce?

herbie shell --seed 2023033 
(FPCore (a rand)
  :name "Octave 3.8, oct_fill_randg"
  :precision binary64
  (* (- a (/ 1.0 3.0)) (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))