math.cos on complex, imaginary part

Average Error: 43.5 → 0.7

Time: 13.6s

Precision: binary64

Cost: 33280

Math

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

↓

\[\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right) + \sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 + {im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984\right) \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

↓

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (+
  (* (sin re) (- (* (pow im 3.0) -0.16666666666666666) im))
  (*
   (sin re)
   (+
    (* (pow im 5.0) -0.008333333333333333)
    (* (pow im 7.0) -0.0001984126984126984)))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}

↓

double code(double re, double im) {
	return (sin(re) * ((pow(im, 3.0) * -0.16666666666666666) - im)) + (sin(re) * ((pow(im, 5.0) * -0.008333333333333333) + (pow(im, 7.0) * -0.0001984126984126984)));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
end function

↓

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (sin(re) * (((im ** 3.0d0) * (-0.16666666666666666d0)) - im)) + (sin(re) * (((im ** 5.0d0) * (-0.008333333333333333d0)) + ((im ** 7.0d0) * (-0.0001984126984126984d0))))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
}

↓

public static double code(double re, double im) {
	return (Math.sin(re) * ((Math.pow(im, 3.0) * -0.16666666666666666) - im)) + (Math.sin(re) * ((Math.pow(im, 5.0) * -0.008333333333333333) + (Math.pow(im, 7.0) * -0.0001984126984126984)));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))

↓

def code(re, im):
	return (math.sin(re) * ((math.pow(im, 3.0) * -0.16666666666666666) - im)) + (math.sin(re) * ((math.pow(im, 5.0) * -0.008333333333333333) + (math.pow(im, 7.0) * -0.0001984126984126984)))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)))
end

↓

function code(re, im)
	return Float64(Float64(sin(re) * Float64(Float64((im ^ 3.0) * -0.16666666666666666) - im)) + Float64(sin(re) * Float64(Float64((im ^ 5.0) * -0.008333333333333333) + Float64((im ^ 7.0) * -0.0001984126984126984))))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
end

↓

function tmp = code(re, im)
	tmp = (sin(re) * (((im ^ 3.0) * -0.16666666666666666) - im)) + (sin(re) * (((im ^ 5.0) * -0.008333333333333333) + ((im ^ 7.0) * -0.0001984126984126984)));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[re_, im_] := N[(N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[im, 3.0], $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision] - im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[im, 5.0], $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision] + N[(N[Power[im, 7.0], $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Target

Original	43.5
Target	0.3
Herbie	0.7

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \]

Derivation

1. Initial program 43.5

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

2. Taylor expanded in im around 0 0.7

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7} + \left(-2 \cdot im + \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{5} + -0.3333333333333333 \cdot {im}^{3}\right)\right)\right)} \]

3. Taylor expanded in im around 0 0.7

   \[\leadsto \color{blue}{-0.0001984126984126984 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{7}\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right)\right)} \]

4. Simplified 0.7

   \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right) + \sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 + {im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984\right)} \]
   Proof

   [Start] 0.7	\[ -0.0001984126984126984 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{7}\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right)\right) \]
   associate-+r+ [=>] 0.7	\[ -0.0001984126984126984 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{7}\right) + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right)} \]
   +-commutative [<=] 0.7	\[ -0.0001984126984126984 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{7}\right) + \left(\color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right)\right)} + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]
   associate-+r+ [<=] 0.7	\[ -0.0001984126984126984 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{7}\right) + \color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right)\right)} \]
   associate-+r+ [=>] 0.7	\[ \color{blue}{\left(-0.0001984126984126984 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{7}\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right)} \]
   +-commutative [=>] 0.7	\[ \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) + \left(-0.0001984126984126984 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{7}\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right)} \]

5. Final simplification 0.7

   \[\leadsto \sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right) + \sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 + {im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.7
Cost	27008

\[\left(\sin re \cdot 0.5\right) \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0003968253968253968 + \left(im \cdot -2 + \left({im}^{5} \cdot -0.016666666666666666 + {im}^{3} \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) \]

Alternative 2
Error	0.7
Cost	26560

\[\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right) + {im}^{5} \cdot \left(\sin re \cdot -0.008333333333333333\right) \]

Alternative 3
Error	0.8
Cost	20032

\[\sin re \cdot \left(\left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right) - im\right) \]

Alternative 4
Error	0.9
Cost	19840

\[{im}^{3} \cdot \left(\sin re \cdot -0.16666666666666666\right) - \sin re \cdot im \]

Alternative 5
Error	0.9
Cost	13312

\[\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right) \]

Alternative 6
Error	1.3
Cost	6656

\[im \cdot \left(-\sin re\right) \]

Alternative 7
Error	31.7
Cost	256

\[re \cdot \left(-im\right) \]

Alternative 8
Error	46.8
Cost	192

\[re \cdot im \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023030 
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (sin re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))