UniformSampleCone 2

Average Error: 0.3 → 0.3

Time: 23.7s

Precision: binary32

Cost: 27360

\[\left(\left(\left(\left(\left(-10000 \leq xi \land xi \leq 10000\right) \land \left(-10000 \leq yi \land yi \leq 10000\right)\right) \land \left(-10000 \leq zi \land zi \leq 10000\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

↓

\[\begin{array}{l} t_0 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ t_1 := \sqrt{1 - \left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)}\\ \mathsf{fma}\left(\cos t_0, t_1 \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sin t_0, t_1 \cdot yi, \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (+
   (*
    (*
     (cos (* (* uy 2.0) PI))
     (sqrt
      (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux)))))
    xi)
   (*
    (*
     (sin (* (* uy 2.0) PI))
     (sqrt
      (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux)))))
    yi))
  (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))

↓

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* uy 2.0) PI))
        (t_1
         (sqrt
          (-
           1.0
           (* (+ ux -1.0) (* maxCos (* (* ux ux) (* maxCos (+ ux -1.0)))))))))
   (fma
    (cos t_0)
    (* t_1 xi)
    (fma (sin t_0) (* t_1 yi) (* (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)) zi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (((cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - ((((1.0f - ux) * maxCos) * ux) * (((1.0f - ux) * maxCos) * ux))))) * xi) + ((sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - ((((1.0f - ux) * maxCos) * ux) * (((1.0f - ux) * maxCos) * ux))))) * yi)) + ((((1.0f - ux) * maxCos) * ux) * zi);
}

↓

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	float t_1 = sqrtf((1.0f - ((ux + -1.0f) * (maxCos * ((ux * ux) * (maxCos * (ux + -1.0f)))))));
	return fmaf(cosf(t_0), (t_1 * xi), fmaf(sinf(t_0), (t_1 * yi), ((ux * ((1.0f - ux) * maxCos)) * zi)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux))))) * xi) + Float32(Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux))))) * yi)) + Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * zi))
end

↓

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(ux + Float32(-1.0)) * Float32(maxCos * Float32(Float32(ux * ux) * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))))))))
	return fma(cos(t_0), Float32(t_1 * xi), fma(sin(t_0), Float32(t_1 * yi), Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)) * zi)))
end

Derivation

1. Initial program 0.3

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Simplified 0.3

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot yi, \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi\right)\right)} \]
   Proof

   [Start] 0.3	\[ \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   associate-+l+ [=>] 0.3	\[ \color{blue}{\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]
   associate-*l* [=>] 0.3	\[ \color{blue}{\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \cdot xi\right)} + \left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right) \]
   fma-def [=>] 0.3	\[ \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \cdot xi, \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

3. Final simplification 0.3

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), \sqrt{1 - \left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), \sqrt{1 - \left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot yi, \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi\right)\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.3
Cost	24224

\[\begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) \cdot maxCos\\ t_1 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ t_2 := \sqrt{1 + \left(ux \cdot t_0\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\\ \mathsf{fma}\left(\cos t_1 \cdot t_2, xi, \sin t_1 \cdot \left(yi \cdot t_2\right)\right) + t_0 \cdot \left(ux \cdot zi\right) \end{array} \]

Alternative 2
Error	0.3
Cost	20448

\[\begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathsf{fma}\left(ux, maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right), \sqrt{1 - \left(ux + -1\right) \cdot \left(\left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos t_0 + yi \cdot \sin t_0\right)\right) \end{array} \]

Alternative 3
Error	0.4
Cost	17312

\[\begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\\ t_1 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(xi \cdot \left(\cos t_1 \cdot \sqrt{1 + t_0 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) + yi \cdot \sin t_1\right) + t_0 \cdot zi \end{array} \]

Alternative 4
Error	3.2
Cost	17248

\[\mathsf{fma}\left(ux, maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right), \sqrt{1 - \left(ux + -1\right) \cdot \left(\left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

Alternative 5
Error	3.2
Cost	17248

\[\mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - \left(ux + -1\right) \cdot \left(\left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

Alternative 6
Error	4.1
Cost	17120

\[\mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), \sqrt{1 - \left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \]

Alternative 7
Error	4.1
Cost	17120

\[\mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), \sqrt{1 - \left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot xi, yi \cdot \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \]

Alternative 8
Error	4.1
Cost	16992

\[\mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)}, maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \]

Alternative 9
Error	13.0
Cost	13824

\[\mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), \sqrt{1 - \left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot xi, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]

Alternative 10
Error	13.0
Cost	13696

\[\mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)}, \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]

Alternative 11
Error	13.0
Cost	13696

\[\mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)}, \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(zi - ux \cdot zi\right)\right) \]

Alternative 12
Error	13.0
Cost	13696

\[\mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)}, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]

Alternative 13
Error	13.7
Cost	13568

\[\mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)}, maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \]

Alternative 14
Error	13.7
Cost	9920

\[\mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), ux \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right) \]

Alternative 15
Error	13.7
Cost	6784

\[maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \]

Alternative 16
Error	15.1
Cost	6592

\[xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \]

Alternative 17
Error	28.2
Cost	160

\[maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) \]

Alternative 18
Error	28.2
Cost	160

\[ux \cdot \left(maxCos \cdot zi\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023018 
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone 2"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (and (and (<= -10000.0 xi) (<= xi 10000.0)) (and (<= -10000.0 yi) (<= yi 10000.0))) (and (<= -10000.0 zi) (<= zi 10000.0))) (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (+ (+ (* (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) xi) (* (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) yi)) (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))