Average Error: 28.4 → 0.6
Time: 21.8s
Precision: binary64
Cost: 14528
\[\left(\left(1.0536712127723509 \cdot 10^{-8} < a \land a < 94906265.62425156\right) \land \left(1.0536712127723509 \cdot 10^{-8} < b \land b < 94906265.62425156\right)\right) \land \left(1.0536712127723509 \cdot 10^{-8} < c \land c < 94906265.62425156\right)\]
\[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
↓
\[\frac{-0.3333333333333333}{\frac{a \cdot \left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)}{a \cdot \left(c \cdot 3\right) + \left(b \cdot b - b \cdot b\right)}} \]
(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3.0 a) c)))) (* 3.0 a)))
↓
(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/
  -0.3333333333333333
  (/
   (* a (+ b (sqrt (fma a (* c -3.0) (* b b)))))
   (+ (* a (* c 3.0)) (- (* b b) (* b b))))))
double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
}
↓
double code(double a, double b, double c) {
	return -0.3333333333333333 / ((a * (b + sqrt(fma(a, (c * -3.0), (b * b))))) / ((a * (c * 3.0)) + ((b * b) - (b * b))));
}

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(-b) + sqrt(Float64(Float64(b * b) - Float64(Float64(3.0 * a) * c)))) / Float64(3.0 * a))
end
↓
function code(a, b, c)
	return Float64(-0.3333333333333333 / Float64(Float64(a * Float64(b + sqrt(fma(a, Float64(c * -3.0), Float64(b * b))))) / Float64(Float64(a * Float64(c * 3.0)) + Float64(Float64(b * b) - Float64(b * b)))))
end

code[a_, b_, c_] := N[(N[((-b) + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(N[(3.0 * a), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(3.0 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]
↓
code[a_, b_, c_] := N[(-0.3333333333333333 / N[(N[(a * N[(b + N[Sqrt[N[(a * N[(c * -3.0), $MachinePrecision] + N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(a * N[(c * 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}
↓
\frac{-0.3333333333333333}{\frac{a \cdot \left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)}{a \cdot \left(c \cdot 3\right) + \left(b \cdot b - b \cdot b\right)}}

Error

Derivation

  1. Initial program 28.4

    \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]

  2. Simplified28.4

    \[\leadsto \color{blue}{\left(b - \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \frac{-0.3333333333333333}{a}} \]
    Proof

    [Start]28.4

    \[ \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]

    remove-double-neg [<=]28.4

    \[ \frac{\left(-b\right) + \color{blue}{\left(-\left(-\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right)\right)}}{3 \cdot a} \]

    sub-neg [<=]28.4

    \[ \frac{\color{blue}{\left(-b\right) - \left(-\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right)}}{3 \cdot a} \]

    div-sub [=>]28.9

    \[ \color{blue}{\frac{-b}{3 \cdot a} - \frac{-\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}} \]

    neg-mul-1 [=>]28.9

    \[ \frac{\color{blue}{-1 \cdot b}}{3 \cdot a} - \frac{-\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]

    associate-*l/ [<=]29.0

    \[ \color{blue}{\frac{-1}{3 \cdot a} \cdot b} - \frac{-\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]

    distribute-frac-neg [=>]29.0

    \[ \frac{-1}{3 \cdot a} \cdot b - \color{blue}{\left(-\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\right)} \]

    fma-neg [=>]28.5

    \[ \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{3 \cdot a}, b, -\left(-\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\right)\right)} \]

    /-rgt-identity [<=]28.5

    \[ \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{3 \cdot a}, \color{blue}{\frac{b}{1}}, -\left(-\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\right)\right) \]

    metadata-eval [<=]28.5

    \[ \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{3 \cdot a}, \frac{b}{\color{blue}{\frac{-1}{-1}}}, -\left(-\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\right)\right) \]

    associate-/l* [<=]28.5

    \[ \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{3 \cdot a}, \color{blue}{\frac{b \cdot -1}{-1}}, -\left(-\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\right)\right) \]

    *-commutative [<=]28.5

    \[ \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{3 \cdot a}, \frac{\color{blue}{-1 \cdot b}}{-1}, -\left(-\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\right)\right) \]

    neg-mul-1 [<=]28.5

    \[ \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{3 \cdot a}, \frac{\color{blue}{-b}}{-1}, -\left(-\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\right)\right) \]

    fma-neg [<=]29.0

    \[ \color{blue}{\frac{-1}{3 \cdot a} \cdot \frac{-b}{-1} - \left(-\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\right)} \]

    neg-mul-1 [=>]29.0

    \[ \frac{-1}{3 \cdot a} \cdot \frac{-b}{-1} - \color{blue}{-1 \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}} \]

  3. Applied egg-rr27.4

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.3333333333333333}{\frac{a \cdot \left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)}{b \cdot b - \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}} \]

  4. Applied egg-rr0.6

    \[\leadsto \frac{-0.3333333333333333}{\frac{a \cdot \left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)}{\color{blue}{\left(-a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) + \left(\left(-b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}} \]

  5. Final simplification0.6

    \[\leadsto \frac{-0.3333333333333333}{\frac{a \cdot \left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)}{a \cdot \left(c \cdot 3\right) + \left(b \cdot b - b \cdot b\right)}} \]

Alternatives

Alternative 1
Error0.6
Cost14016
\[\frac{-0.3333333333333333}{\frac{a \cdot \left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)}{3 \cdot \left(a \cdot c\right)}} \]
Alternative 2
Error9.4
Cost13892
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq 17.5:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\frac{a}{-0.3333333333333333}}{b - \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{-0.3333333333333333}{\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \frac{b}{c}, \frac{a \cdot -0.5}{b}\right)}\\ \end{array} \]
Alternative 3
Error9.4
Cost13764
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq 18.5:\\ \;\;\;\;\left(b - \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \frac{-0.3333333333333333}{a}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{-0.3333333333333333}{\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \frac{b}{c}, \frac{a \cdot -0.5}{b}\right)}\\ \end{array} \]
Alternative 4
Error9.4
Cost13764
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq 17.5:\\ \;\;\;\;\frac{-0.3333333333333333}{\frac{a}{b - \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{-0.3333333333333333}{\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \frac{b}{c}, \frac{a \cdot -0.5}{b}\right)}\\ \end{array} \]
Alternative 5
Error9.4
Cost13764
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq 17.5:\\ \;\;\;\;\frac{-0.3333333333333333 \cdot \left(b - \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)}{a}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{-0.3333333333333333}{\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \frac{b}{c}, \frac{a \cdot -0.5}{b}\right)}\\ \end{array} \]
Alternative 6
Error9.4
Cost13764
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq 17.5:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{b - \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, a \cdot -3, b \cdot b\right)}}{-3}}{a}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{-0.3333333333333333}{\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \frac{b}{c}, \frac{a \cdot -0.5}{b}\right)}\\ \end{array} \]
Alternative 7
Error9.4
Cost7492
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq 18:\\ \;\;\;\;\frac{-0.3333333333333333}{a} \cdot \left(b - \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{-0.3333333333333333}{\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \frac{b}{c}, \frac{a \cdot -0.5}{b}\right)}\\ \end{array} \]
Alternative 8
Error9.4
Cost7492
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq 17.5:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 3\right)} - b}{a \cdot 3}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{-0.3333333333333333}{\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \frac{b}{c}, \frac{a \cdot -0.5}{b}\right)}\\ \end{array} \]
Alternative 9
Error11.5
Cost7104
\[\frac{-0.3333333333333333}{\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \frac{b}{c}, \frac{a \cdot -0.5}{b}\right)} \]
Alternative 10
Error11.5
Cost832
\[\frac{-0.3333333333333333}{0.6666666666666666 \cdot \frac{b}{c} + -0.5 \cdot \frac{a}{b}} \]
Alternative 11
Error22.9
Cost320
\[-0.5 \cdot \frac{c}{b} \]

Error

Reproduce

herbie shell --seed 2023017 
(FPCore (a b c)
  :name "Cubic critical, narrow range"
  :precision binary64
  :pre (and (and (and (< 1.0536712127723509e-8 a) (< a 94906265.62425156)) (and (< 1.0536712127723509e-8 b) (< b 94906265.62425156))) (and (< 1.0536712127723509e-8 c) (< c 94906265.62425156)))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3.0 a) c)))) (* 3.0 a)))