Cubic critical, wide range

Average Error: 52.7 → 0.5

Time: 15.4s

Precision: binary64

Cost: 20544

\[\left(\left(4.930380657631324 \cdot 10^{-32} < a \land a < 2.028240960365167 \cdot 10^{+31}\right) \land \left(4.930380657631324 \cdot 10^{-32} < b \land b < 2.028240960365167 \cdot 10^{+31}\right)\right) \land \left(4.930380657631324 \cdot 10^{-32} < c \land c < 2.028240960365167 \cdot 10^{+31}\right)\]

Math

\[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]

↓

\[\frac{\frac{c \cdot {a}^{3}}{a \cdot \left(\left(-b\right) - \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)}}{a \cdot a} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3.0 a) c)))) (* 3.0 a)))

↓

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/
  (/ (* c (pow a 3.0)) (* a (- (- b) (sqrt (fma a (* c -3.0) (* b b))))))
  (* a a)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
}

↓

double code(double a, double b, double c) {
	return ((c * pow(a, 3.0)) / (a * (-b - sqrt(fma(a, (c * -3.0), (b * b)))))) / (a * a);
}

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(-b) + sqrt(Float64(Float64(b * b) - Float64(Float64(3.0 * a) * c)))) / Float64(3.0 * a))
end

↓

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(c * (a ^ 3.0)) / Float64(a * Float64(Float64(-b) - sqrt(fma(a, Float64(c * -3.0), Float64(b * b)))))) / Float64(a * a))
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[((-b) + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(N[(3.0 * a), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(3.0 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[a_, b_, c_] := N[(N[(N[(c * N[Power[a, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(a * N[((-b) - N[Sqrt[N[(a * N[(c * -3.0), $MachinePrecision] + N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(a * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 52.7

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]

2. Simplified 52.7

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{b - \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}{a} \cdot -0.3333333333333333} \]
   Proof

   [Start] 52.7	\[ \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
   *-lft-identity [<=] 52.7	\[ \color{blue}{1 \cdot \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}} \]
   metadata-eval [<=] 52.7	\[ \color{blue}{\frac{-1}{-1}} \cdot \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
   times-frac [<=] 52.7	\[ \color{blue}{\frac{-1 \cdot \left(\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right)}{-1 \cdot \left(3 \cdot a\right)}} \]
   neg-mul-1 [<=] 52.7	\[ \frac{-1 \cdot \left(\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right)}{\color{blue}{-3 \cdot a}} \]
   distribute-rgt-neg-in [=>] 52.7	\[ \frac{-1 \cdot \left(\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right)}{\color{blue}{3 \cdot \left(-a\right)}} \]
   times-frac [=>] 52.7	\[ \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{-a}} \]
   *-commutative [=>] 52.7	\[ \color{blue}{\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{-a} \cdot \frac{-1}{3}} \]

3. Applied egg-rr 52.9

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(b \cdot a - a \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot -0.3333333333333333}{a \cdot a}} \]

4. Applied egg-rr 52.2

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{-0.3333333333333333 \cdot \left({\left(b \cdot a\right)}^{2} - \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{a \cdot \left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)}}}{a \cdot a} \]

5. Simplified 52.2

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{-0.3333333333333333}{a \cdot \left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)} \cdot \left({\left(a \cdot b\right)}^{2} - a \cdot \left(a \cdot \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)\right)\right)}}{a \cdot a} \]
   Proof

   [Start] 52.2	\[ \frac{\frac{-0.3333333333333333 \cdot \left({\left(b \cdot a\right)}^{2} - \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{a \cdot \left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)}}{a \cdot a} \]
   associate-/l* [=>] 52.2	\[ \frac{\color{blue}{\frac{-0.3333333333333333}{\frac{a \cdot \left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)}{{\left(b \cdot a\right)}^{2} - \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a\right)}}}}{a \cdot a} \]
   associate-/r/ [=>] 52.2	\[ \frac{\color{blue}{\frac{-0.3333333333333333}{a \cdot \left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)} \cdot \left({\left(b \cdot a\right)}^{2} - \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}}{a \cdot a} \]
   *-commutative [<=] 52.2	\[ \frac{\frac{-0.3333333333333333}{a \cdot \left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)} \cdot \left({\color{blue}{\left(a \cdot b\right)}}^{2} - \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{a \cdot a} \]
   *-commutative [=>] 52.2	\[ \frac{\frac{-0.3333333333333333}{a \cdot \left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)} \cdot \left({\left(a \cdot b\right)}^{2} - \color{blue}{\left(a \cdot a\right) \cdot \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)}{a \cdot a} \]
   associate-*l* [=>] 52.2	\[ \frac{\frac{-0.3333333333333333}{a \cdot \left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)} \cdot \left({\left(a \cdot b\right)}^{2} - \color{blue}{a \cdot \left(a \cdot \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)\right)}\right)}{a \cdot a} \]

6. Taylor expanded in a around 0 0.7

   \[\leadsto \frac{\frac{-0.3333333333333333}{a \cdot \left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)} \cdot \color{blue}{\left(3 \cdot \left(c \cdot {a}^{3}\right)\right)}}{a \cdot a} \]

7. Simplified 0.7

   \[\leadsto \frac{\frac{-0.3333333333333333}{a \cdot \left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)} \cdot \color{blue}{\left({a}^{3} \cdot \left(3 \cdot c\right)\right)}}{a \cdot a} \]
   Proof

   [Start] 0.7	\[ \frac{\frac{-0.3333333333333333}{a \cdot \left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)} \cdot \left(3 \cdot \left(c \cdot {a}^{3}\right)\right)}{a \cdot a} \]
   associate-*r* [=>] 0.7	\[ \frac{\frac{-0.3333333333333333}{a \cdot \left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)} \cdot \color{blue}{\left(\left(3 \cdot c\right) \cdot {a}^{3}\right)}}{a \cdot a} \]
   *-commutative [=>] 0.7	\[ \frac{\frac{-0.3333333333333333}{a \cdot \left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)} \cdot \color{blue}{\left({a}^{3} \cdot \left(3 \cdot c\right)\right)}}{a \cdot a} \]

8. Applied egg-rr 0.7

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{3 \cdot \left(c \cdot {a}^{3}\right)}{\frac{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}{\frac{-0.3333333333333333}{a}}}}}{a \cdot a} \]

9. Simplified 0.5

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{c \cdot {a}^{3}}{\left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \left(-a\right)}}}{a \cdot a} \]
   Proof

   [Start] 0.7	\[ \frac{\frac{3 \cdot \left(c \cdot {a}^{3}\right)}{\frac{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}{\frac{-0.3333333333333333}{a}}}}{a \cdot a} \]
   associate-/r/ [=>] 0.7	\[ \frac{\color{blue}{\frac{3 \cdot \left(c \cdot {a}^{3}\right)}{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}} \cdot \frac{-0.3333333333333333}{a}}}{a \cdot a} \]
   metadata-eval [<=] 0.7	\[ \frac{\frac{3 \cdot \left(c \cdot {a}^{3}\right)}{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}} \cdot \frac{\color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{-1}}}{a}}{a \cdot a} \]
   associate-/r* [<=] 0.7	\[ \frac{\frac{3 \cdot \left(c \cdot {a}^{3}\right)}{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}} \cdot \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{-1 \cdot a}}}{a \cdot a} \]
   neg-mul-1 [<=] 0.7	\[ \frac{\frac{3 \cdot \left(c \cdot {a}^{3}\right)}{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}} \cdot \frac{0.3333333333333333}{\color{blue}{-a}}}{a \cdot a} \]
   times-frac [<=] 0.7	\[ \frac{\color{blue}{\frac{\left(3 \cdot \left(c \cdot {a}^{3}\right)\right) \cdot 0.3333333333333333}{\left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \left(-a\right)}}}{a \cdot a} \]
   *-commutative [<=] 0.7	\[ \frac{\frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(3 \cdot \left(c \cdot {a}^{3}\right)\right)}}{\left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \left(-a\right)}}{a \cdot a} \]
   associate-*r* [=>] 0.5	\[ \frac{\frac{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot 3\right) \cdot \left(c \cdot {a}^{3}\right)}}{\left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \left(-a\right)}}{a \cdot a} \]
   metadata-eval [=>] 0.5	\[ \frac{\frac{\color{blue}{1} \cdot \left(c \cdot {a}^{3}\right)}{\left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \left(-a\right)}}{a \cdot a} \]
   *-lft-identity [=>] 0.5	\[ \frac{\frac{\color{blue}{c \cdot {a}^{3}}}{\left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \left(-a\right)}}{a \cdot a} \]

10. Final simplification 0.5

    \[\leadsto \frac{\frac{c \cdot {a}^{3}}{a \cdot \left(\left(-b\right) - \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)}}{a \cdot a} \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.5
Cost	20544

\[\frac{\frac{{a}^{3} \cdot \left(-c\right)}{a}}{\left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \left(a \cdot a\right)} \]

Alternative 2
Error	2.9
Cost	7424

\[\frac{c}{\frac{b}{-0.5}} + \left(c \cdot \left(\left(c \cdot a\right) \cdot {b}^{-3}\right)\right) \cdot -0.375 \]

Alternative 3
Error	6.2
Cost	320

\[c \cdot \frac{-0.5}{b} \]

Alternative 4
Error	6.0
Cost	320

\[\frac{c \cdot -0.5}{b} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023012 
(FPCore (a b c)
  :name "Cubic critical, wide range"
  :precision binary64
  :pre (and (and (and (< 4.930380657631324e-32 a) (< a 2.028240960365167e+31)) (and (< 4.930380657631324e-32 b) (< b 2.028240960365167e+31))) (and (< 4.930380657631324e-32 c) (< c 2.028240960365167e+31)))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3.0 a) c)))) (* 3.0 a)))