Octave 3.8, oct_fill_randg

Average Error: 0.1 → 0.1

Time: 13.1s

Precision: binary64

Cost: 13504

Math

\[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

↓

\[\left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(9, a, -3\right)}}\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + a\right) \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (*
  (- a (/ 1.0 3.0))
  (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))

↓

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (* (+ 1.0 (/ rand (sqrt (fma 9.0 a -3.0)))) (+ -0.3333333333333333 a)))

C

double code(double a, double rand) {
	return (a - (1.0 / 3.0)) * (1.0 + ((1.0 / sqrt((9.0 * (a - (1.0 / 3.0))))) * rand));
}

↓

double code(double a, double rand) {
	return (1.0 + (rand / sqrt(fma(9.0, a, -3.0)))) * (-0.3333333333333333 + a);
}

Julia

function code(a, rand)
	return Float64(Float64(a - Float64(1.0 / 3.0)) * Float64(1.0 + Float64(Float64(1.0 / sqrt(Float64(9.0 * Float64(a - Float64(1.0 / 3.0))))) * rand)))
end

↓

function code(a, rand)
	return Float64(Float64(1.0 + Float64(rand / sqrt(fma(9.0, a, -3.0)))) * Float64(-0.3333333333333333 + a))
end

Wolfram

code[a_, rand_] := N[(N[(a - N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(1.0 / N[Sqrt[N[(9.0 * N[(a - N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * rand), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[a_, rand_] := N[(N[(1.0 + N[(rand / N[Sqrt[N[(9.0 * a + -3.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 0.1

   \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

2. Simplified 0.1

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 + a\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(9, a, -3\right)}}\right)} \]
   Proof

   [Start] 0.1	\[ \left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   *-lft-identity [<=] 0.1	\[ \color{blue}{\left(1 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   *-lft-identity [=>] 0.1	\[ \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   sub-neg [=>] 0.1	\[ \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   +-commutative [=>] 0.1	\[ \color{blue}{\left(\left(-\frac{1}{3}\right) + a\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   metadata-eval [=>] 0.1	\[ \left(\left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right) + a\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   metadata-eval [=>] 0.1	\[ \left(\color{blue}{-0.3333333333333333} + a\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   cancel-sign-sub [<=] 0.1	\[ \left(-0.3333333333333333 + a\right) \cdot \color{blue}{\left(1 - \left(-\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}\right) \cdot rand\right)} \]
   distribute-lft-neg-in [<=] 0.1	\[ \left(-0.3333333333333333 + a\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\left(-\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)}\right) \]
   sub-neg [=>] 0.1	\[ \left(-0.3333333333333333 + a\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(-\left(-\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)\right)\right)} \]
   remove-double-neg [=>] 0.1	\[ \left(-0.3333333333333333 + a\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand}\right) \]
   associate-*l/ [=>] 0.1	\[ \left(-0.3333333333333333 + a\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1 \cdot rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]
   *-lft-identity [=>] 0.1	\[ \left(-0.3333333333333333 + a\right) \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{rand}}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}\right) \]
   sub-neg [=>] 0.1	\[ \left(-0.3333333333333333 + a\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}}\right) \]
   distribute-lft-in [=>] 0.1	\[ \left(-0.3333333333333333 + a\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}}\right) \]
   *-lft-identity [<=] 0.1	\[ \left(-0.3333333333333333 + a\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot a\right)} + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}\right) \]
   fma-def [=>] 0.1	\[ \left(-0.3333333333333333 + a\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(9, 1 \cdot a, 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}}\right) \]
   *-lft-identity [=>] 0.1	\[ \left(-0.3333333333333333 + a\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(9, \color{blue}{a}, 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}\right) \]
   metadata-eval [=>] 0.1	\[ \left(-0.3333333333333333 + a\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(9, a, 9 \cdot \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right)}}\right) \]
   metadata-eval [=>] 0.1	\[ \left(-0.3333333333333333 + a\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(9, a, 9 \cdot \color{blue}{-0.3333333333333333}\right)}}\right) \]
   metadata-eval [=>] 0.1	\[ \left(-0.3333333333333333 + a\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(9, a, \color{blue}{-3}\right)}}\right) \]

3. Final simplification 0.1

   \[\leadsto \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(9, a, -3\right)}}\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + a\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.1
Cost	7232

\[\left(-0.3333333333333333 + a\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{-3 + a \cdot 9}}\right) \]

Alternative 2
Error	0.1
Cost	7232

\[\left(-0.3333333333333333 + a\right) \cdot \left(1 + \frac{\frac{rand}{3}}{\sqrt{-0.3333333333333333 + a}}\right) \]

Alternative 3
Error	5.6
Cost	7113

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -1.15 \cdot 10^{+94} \lor \neg \left(rand \leq 3.4 \cdot 10^{+66}\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.3333333333333333 + a\\ \end{array} \]

Alternative 4
Error	5.4
Cost	7113

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -1.55 \cdot 10^{+91} \lor \neg \left(rand \leq 8.6 \cdot 10^{+69}\right):\\ \;\;\;\;rand \cdot \sqrt{-0.037037037037037035 + a \cdot 0.1111111111111111}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.3333333333333333 + a\\ \end{array} \]

Alternative 5
Error	0.9
Cost	7104

\[\left(-0.3333333333333333 + a\right) \cdot \left(1 + 0.3333333333333333 \cdot \frac{rand}{\sqrt{a}}\right) \]

Alternative 6
Error	0.9
Cost	7104

\[\left(-0.3333333333333333 + a\right) \cdot \left(1 + \frac{0.3333333333333333}{\frac{\sqrt{a}}{rand}}\right) \]

Alternative 7
Error	0.9
Cost	7104

\[\left(-0.3333333333333333 + a\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{a \cdot 9}}\right) \]

Alternative 8
Error	0.2
Cost	7104

\[-0.3333333333333333 + \left(a + 0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)\right) \]

Alternative 9
Error	6.0
Cost	6985

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -3.2 \cdot 10^{+90} \lor \neg \left(rand \leq 6.6 \cdot 10^{+69}\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.3333333333333333 + a\\ \end{array} \]

Alternative 10
Error	18.5
Cost	192

\[-0.3333333333333333 + a \]

Alternative 11
Error	63.0
Cost	64

\[-0.3333333333333333 \]

Alternative 12
Error	19.3
Cost	64

\[a \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023012 
(FPCore (a rand)
  :name "Octave 3.8, oct_fill_randg"
  :precision binary64
  (* (- a (/ 1.0 3.0)) (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))