2-ancestry mixing, negative discriminant

Average Error: 1.0 → 0.0

Time: 9.4s

Precision: binary64

Cost: 222016

Math

\[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

↓

\[\begin{array}{l} t_0 := 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\\ t_1 := \cos t_0\\ t_2 := \sin t_0\\ t_3 := \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\\ t_4 := t_3 \cdot t_1\\ t_5 := \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\\ t_6 := t_2 \cdot t_5\\ 2 \cdot \frac{{t_4}^{3} - {t_6}^{3}}{\mathsf{fma}\left(t_6, \mathsf{fma}\left(t_2, \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(t_5\right)\right), t_4\right), t_1 \cdot \left(t_1 \cdot \left(t_3 \cdot t_3\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

↓

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.3333333333333333 (acos (/ (- g) h))))
        (t_1 (cos t_0))
        (t_2 (sin t_0))
        (t_3 (cos (* 0.6666666666666666 PI)))
        (t_4 (* t_3 t_1))
        (t_5 (sin (* 0.6666666666666666 PI)))
        (t_6 (* t_2 t_5)))
   (*
    2.0
    (/
     (- (pow t_4 3.0) (pow t_6 3.0))
     (fma
      t_6
      (fma t_2 (expm1 (log1p t_5)) t_4)
      (* t_1 (* t_1 (* t_3 t_3))))))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

↓

double code(double g, double h) {
	double t_0 = 0.3333333333333333 * acos((-g / h));
	double t_1 = cos(t_0);
	double t_2 = sin(t_0);
	double t_3 = cos((0.6666666666666666 * ((double) M_PI)));
	double t_4 = t_3 * t_1;
	double t_5 = sin((0.6666666666666666 * ((double) M_PI)));
	double t_6 = t_2 * t_5;
	return 2.0 * ((pow(t_4, 3.0) - pow(t_6, 3.0)) / fma(t_6, fma(t_2, expm1(log1p(t_5)), t_4), (t_1 * (t_1 * (t_3 * t_3)))));
}

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(Float64(2.0 * pi) / 3.0) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

↓

function code(g, h)
	t_0 = Float64(0.3333333333333333 * acos(Float64(Float64(-g) / h)))
	t_1 = cos(t_0)
	t_2 = sin(t_0)
	t_3 = cos(Float64(0.6666666666666666 * pi))
	t_4 = Float64(t_3 * t_1)
	t_5 = sin(Float64(0.6666666666666666 * pi))
	t_6 = Float64(t_2 * t_5)
	return Float64(2.0 * Float64(Float64((t_4 ^ 3.0) - (t_6 ^ 3.0)) / fma(t_6, fma(t_2, expm1(log1p(t_5)), t_4), Float64(t_1 * Float64(t_1 * Float64(t_3 * t_3))))))
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[g_, h_] := Block[{t$95$0 = N[(0.3333333333333333 * N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[t$95$0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sin[t$95$0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[Cos[N[(0.6666666666666666 * Pi), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(t$95$3 * t$95$1), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[Sin[N[(0.6666666666666666 * Pi), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$6 = N[(t$95$2 * t$95$5), $MachinePrecision]}, N[(2.0 * N[(N[(N[Power[t$95$4, 3.0], $MachinePrecision] - N[Power[t$95$6, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$6 * N[(t$95$2 * N[(Exp[N[Log[1 + t$95$5], $MachinePrecision]] - 1), $MachinePrecision] + t$95$4), $MachinePrecision] + N[(t$95$1 * N[(t$95$1 * N[(t$95$3 * t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]

Derivation

1. Initial program 1.0

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

2. Simplified 1.0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)} \]
   Proof

   [Start] 1.0	\[ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
   associate-/l* [=>] 1.0	\[ 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{\frac{3}{\pi}}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
   associate-/r/ [=>] 1.0	\[ 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{3} \cdot \pi} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
   metadata-eval [=>] 1.0	\[ 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{0.6666666666666666} \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

3. Applied egg-rr 1.6

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\frac{{\left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)}^{3} - {\left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)}^{3}}{\left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) + \left(\left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) + \left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)}} \]

4. Simplified 1.0

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\frac{{\left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)}^{3} - {\left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right), \mathsf{fma}\left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right), \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right), \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)}} \]
   Proof

   [Start] 1.6

   \[ 2 \cdot \frac{{\left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)}^{3} - {\left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)}^{3}}{\left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) + \left(\left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) + \left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)} \]

5. Applied egg-rr 0.0

   \[\leadsto 2 \cdot \frac{{\left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)}^{3} - {\left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right), \mathsf{fma}\left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right), \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)\right)}, \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

6. Final simplification 0.0

   \[\leadsto 2 \cdot \frac{{\left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)}^{3} - {\left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right), \mathsf{fma}\left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right), \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)\right), \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.1
Cost	170304

\[\begin{array}{l} t_0 := \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\\ t_1 := \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\\ t_2 := 0.3333333333333333 \cdot t_1\\ t_3 := \sin t_2 \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\\ t_4 := \cos t_2\\ 2 \cdot \frac{{\left(t_0 \cdot t_4\right)}^{3} - {t_3}^{3}}{\mathsf{fma}\left(t_3, \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + t_1 \cdot -0.3333333333333333\right), t_4 \cdot \left(t_4 \cdot \left(t_0 \cdot t_0\right)\right)\right)} \end{array} \]

Alternative 2
Error	0.1
Cost	111744

\[\begin{array}{l} t_0 := \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\\ t_1 := \cos \left(\frac{{t_0}^{2} + {\pi}^{2} \cdot -0.4444444444444444}{t_0 + \pi \cdot -0.6666666666666666}\right)\\ 2 \cdot \left(\sqrt[3]{{t_1}^{2}} \cdot \sqrt[3]{t_1}\right) \end{array} \]

Alternative 3
Error	1.0
Cost	59072

\[\begin{array}{l} t_0 := \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\\ 2 \cdot \left({\left({t_0}^{2}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \sqrt[3]{t_0}\right) \end{array} \]

Alternative 4
Error	1.0
Cost	19904

\[2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023011 
(FPCore (g h)
  :name "2-ancestry mixing, negative discriminant"
  :precision binary64
  (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))