HairBSDF, gamma for a refracted ray

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Precision: binary64

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\[\left(\left(-1 \leq sinTheta_O \land sinTheta_O \leq 1\right) \land \left(-1 \leq h \land h \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq eta \land eta \leq 10\right)\]

Math

\[\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta_O \cdot sinTheta_O}{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}}\right) \]

↓

\[\sin^{-1} \left(\frac{h}{eta + \frac{\left(sinTheta_O \cdot sinTheta_O\right) \cdot -0.5}{eta}}\right) \]

FPCore

(FPCore (sinTheta_O h eta)
 :precision binary64
 (asin
  (/
   h
   (sqrt
    (-
     (* eta eta)
     (/
      (* sinTheta_O sinTheta_O)
      (sqrt (- 1.0 (* sinTheta_O sinTheta_O)))))))))

↓

(FPCore (sinTheta_O h eta)
 :precision binary64
 (asin (/ h (+ eta (/ (* (* sinTheta_O sinTheta_O) -0.5) eta)))))

C

double code(double sinTheta_O, double h, double eta) {
	return asin((h / sqrt(((eta * eta) - ((sinTheta_O * sinTheta_O) / sqrt((1.0 - (sinTheta_O * sinTheta_O))))))));
}

↓

double code(double sinTheta_O, double h, double eta) {
	return asin((h / (eta + (((sinTheta_O * sinTheta_O) * -0.5) / eta))));
}

Fortran

real(8) function code(sintheta_o, h, eta)
    real(8), intent (in) :: sintheta_o
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: eta
    code = asin((h / sqrt(((eta * eta) - ((sintheta_o * sintheta_o) / sqrt((1.0d0 - (sintheta_o * sintheta_o))))))))
end function

↓

real(8) function code(sintheta_o, h, eta)
    real(8), intent (in) :: sintheta_o
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: eta
    code = asin((h / (eta + (((sintheta_o * sintheta_o) * (-0.5d0)) / eta))))
end function

Java

public static double code(double sinTheta_O, double h, double eta) {
	return Math.asin((h / Math.sqrt(((eta * eta) - ((sinTheta_O * sinTheta_O) / Math.sqrt((1.0 - (sinTheta_O * sinTheta_O))))))));
}

↓

public static double code(double sinTheta_O, double h, double eta) {
	return Math.asin((h / (eta + (((sinTheta_O * sinTheta_O) * -0.5) / eta))));
}

Python

def code(sinTheta_O, h, eta):
	return math.asin((h / math.sqrt(((eta * eta) - ((sinTheta_O * sinTheta_O) / math.sqrt((1.0 - (sinTheta_O * sinTheta_O))))))))

↓

def code(sinTheta_O, h, eta):
	return math.asin((h / (eta + (((sinTheta_O * sinTheta_O) * -0.5) / eta))))

Julia

function code(sinTheta_O, h, eta)
	return asin(Float64(h / sqrt(Float64(Float64(eta * eta) - Float64(Float64(sinTheta_O * sinTheta_O) / sqrt(Float64(1.0 - Float64(sinTheta_O * sinTheta_O))))))))
end

↓

function code(sinTheta_O, h, eta)
	return asin(Float64(h / Float64(eta + Float64(Float64(Float64(sinTheta_O * sinTheta_O) * -0.5) / eta))))
end

MATLAB

function tmp = code(sinTheta_O, h, eta)
	tmp = asin((h / sqrt(((eta * eta) - ((sinTheta_O * sinTheta_O) / sqrt((1.0 - (sinTheta_O * sinTheta_O))))))));
end

↓

function tmp = code(sinTheta_O, h, eta)
	tmp = asin((h / (eta + (((sinTheta_O * sinTheta_O) * -0.5) / eta))));
end

Wolfram

code[sinTheta$95$O_, h_, eta_] := N[ArcSin[N[(h / N[Sqrt[N[(N[(eta * eta), $MachinePrecision] - N[(N[(sinTheta$95$O * sinTheta$95$O), $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 - N[(sinTheta$95$O * sinTheta$95$O), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

↓

code[sinTheta$95$O_, h_, eta_] := N[ArcSin[N[(h / N[(eta + N[(N[(N[(sinTheta$95$O * sinTheta$95$O), $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision] / eta), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 7.3

   \[\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta_O \cdot sinTheta_O}{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}}\right) \]

2. Taylor expanded in sinTheta_O around 0 7.3

   \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{\color{blue}{{eta}^{2} + -1 \cdot {sinTheta_O}^{2}}}}\right) \]

3. Simplified 7.3

   \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{\color{blue}{eta \cdot eta + \left(-sinTheta_O \cdot sinTheta_O\right)}}}\right) \]
   Proof

4. Taylor expanded in eta around inf 0.6

   \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{\color{blue}{eta + -0.5 \cdot \frac{{sinTheta_O}^{2}}{eta}}}\right) \]

5. Simplified 0.6

   \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{\color{blue}{eta + \frac{\left(sinTheta_O \cdot sinTheta_O\right) \cdot -0.5}{eta}}}\right) \]
   Proof

Alternatives

Alternative 1
Error	1.0
Cost	6592

\[\sin^{-1} \left(\frac{h}{eta}\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023010 
(FPCore (sinTheta_O h eta)
  :name "HairBSDF, gamma for a refracted ray"
  :precision binary64
  :pre (and (and (and (<= -1.0 sinTheta_O) (<= sinTheta_O 1.0)) (and (<= -1.0 h) (<= h 1.0))) (and (<= 0.0 eta) (<= eta 10.0)))
  (asin (/ h (sqrt (- (* eta eta) (/ (* sinTheta_O sinTheta_O) (sqrt (- 1.0 (* sinTheta_O sinTheta_O)))))))))