ENA, Section 1.4, Exercise 4a

Average Error: 30.3 → 0.3

Time: 29.9s

Precision: binary64

Cost: 14400

\[-1 \leq x \land x \leq 1\]

Math

\[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

↓

\[\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.06388888888888888 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* (* 0.16666666666666666 x) x)
  (+
   (* -0.00023644179894179894 (pow x 8.0))
   (+
    (* -0.0007275132275132275 (pow x 6.0))
    (* (* x x) (* -0.06388888888888888 (* x x)))))))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

↓

double code(double x) {
	return ((0.16666666666666666 * x) * x) + ((-0.00023644179894179894 * pow(x, 8.0)) + ((-0.0007275132275132275 * pow(x, 6.0)) + ((x * x) * (-0.06388888888888888 * (x * x)))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

↓

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((0.16666666666666666d0 * x) * x) + (((-0.00023644179894179894d0) * (x ** 8.0d0)) + (((-0.0007275132275132275d0) * (x ** 6.0d0)) + ((x * x) * ((-0.06388888888888888d0) * (x * x)))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

↓

public static double code(double x) {
	return ((0.16666666666666666 * x) * x) + ((-0.00023644179894179894 * Math.pow(x, 8.0)) + ((-0.0007275132275132275 * Math.pow(x, 6.0)) + ((x * x) * (-0.06388888888888888 * (x * x)))));
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

↓

def code(x):
	return ((0.16666666666666666 * x) * x) + ((-0.00023644179894179894 * math.pow(x, 8.0)) + ((-0.0007275132275132275 * math.pow(x, 6.0)) + ((x * x) * (-0.06388888888888888 * (x * x)))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

↓

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(0.16666666666666666 * x) * x) + Float64(Float64(-0.00023644179894179894 * (x ^ 8.0)) + Float64(Float64(-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + Float64(Float64(x * x) * Float64(-0.06388888888888888 * Float64(x * x))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

↓

function tmp = code(x)
	tmp = ((0.16666666666666666 * x) * x) + ((-0.00023644179894179894 * (x ^ 8.0)) + ((-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + ((x * x) * (-0.06388888888888888 * (x * x)))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[x_] := N[(N[(N[(0.16666666666666666 * x), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.00023644179894179894 * N[Power[x, 8.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.0007275132275132275 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(-0.06388888888888888 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Target

Original	30.3
Target	0.8
Herbie	0.3

\[0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

Derivation

1. Initial program 30.3

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 0.3

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right)} \]

3. Applied egg-rr 0.3

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 0.3

   \[\leadsto \left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.06388888888888888 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.4
Cost	13312

\[\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot x, x, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

Alternative 2
Error	0.4
Cost	960

\[\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.06388888888888888 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \]

Alternative 3
Error	0.4
Cost	832

\[x \cdot \left(x \cdot \left(-0.06388888888888888 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 0.16666666666666666 \cdot x\right) \]

Alternative 4
Error	0.4
Cost	704

\[\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.06388888888888888 \cdot \left(x \cdot x\right) + 0.16666666666666666\right) \]

Alternative 5
Error	0.7
Cost	448

\[\frac{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5}{3} \]

Alternative 6
Error	0.7
Cost	320

\[\left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot x \]

Alternative 7
Error	0.7
Cost	320

\[\frac{x \cdot x}{6} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023010 
(FPCore (x)
  :name "ENA, Section 1.4, Exercise 4a"
  :precision binary64
  :pre (and (<= -1.0 x) (<= x 1.0))

  :herbie-target
  (* 0.16666666666666666 (* x x))

  (/ (- x (sin x)) (tan x)))