2-ancestry mixing, negative discriminant

Average Error: 1.0 → 0.1

Time: 17.1s

Precision: binary64

Cost: 65280

Math

\[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

↓

\[\begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)\\ 2 \cdot \left(\sqrt[3]{{\cos \left(\frac{\pi}{1.5} + 0.3333333333333333 \cdot t_0\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(\pi, 2, t_0\right)\right)}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

↓

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (- (/ g h)))))
   (*
    2.0
    (*
     (cbrt (pow (cos (+ (/ PI 1.5) (* 0.3333333333333333 t_0))) 2.0))
     (cbrt (cos (* 0.3333333333333333 (fma PI 2.0 t_0))))))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

↓

double code(double g, double h) {
	double t_0 = acos(-(g / h));
	return 2.0 * (cbrt(pow(cos(((((double) M_PI) / 1.5) + (0.3333333333333333 * t_0))), 2.0)) * cbrt(cos((0.3333333333333333 * fma(((double) M_PI), 2.0, t_0)))));
}

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(Float64(2.0 * pi) / 3.0) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

↓

function code(g, h)
	t_0 = acos(Float64(-Float64(g / h)))
	return Float64(2.0 * Float64(cbrt((cos(Float64(Float64(pi / 1.5) + Float64(0.3333333333333333 * t_0))) ^ 2.0)) * cbrt(cos(Float64(0.3333333333333333 * fma(pi, 2.0, t_0))))))
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[g_, h_] := Block[{t$95$0 = N[ArcCos[(-N[(g / h), $MachinePrecision])], $MachinePrecision]}, N[(2.0 * N[(N[Power[N[Power[N[Cos[N[(N[(Pi / 1.5), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] * N[Power[N[Cos[N[(0.3333333333333333 * N[(Pi * 2.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 1.0

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

2. Applied egg-rr 0.1

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{{\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(\pi, 2, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)\right)\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(\pi, 2, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)\right)\right)}\right)} \]

3. Applied egg-rr 0.1

   \[\leadsto 2 \cdot \left(\sqrt[3]{{\cos \color{blue}{\left(\frac{\pi \cdot 2}{3} + 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)\right)}}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(\pi, 2, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)\right)\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 0.0

   \[\leadsto 2 \cdot \left(\sqrt[3]{{\cos \left(\color{blue}{\frac{\frac{\pi}{\sqrt{1.5}}}{\sqrt{1.5}}} + 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(\pi, 2, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)\right)\right)}\right) \]

5. Simplified 0.1

   \[\leadsto 2 \cdot \left(\sqrt[3]{{\cos \left(\color{blue}{\frac{\pi}{1.5}} + 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(\pi, 2, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)\right)\right)}\right) \]
   Proof

Alternatives

Alternative 1
Error	0.1
Cost	59072

\[\begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)\\ 2 \cdot \left(\sqrt[3]{0.5 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \mathsf{fma}\left(\pi, 2, t_0\right)\right) + 0.5} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\frac{\pi}{1.5} + 0.3333333333333333 \cdot t_0\right)}\right) \end{array} \]

Alternative 2
Error	1.0
Cost	19904

\[2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 - \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right) \cdot -0.3333333333333333\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023010 
(FPCore (g h)
  :name "2-ancestry mixing, negative discriminant"
  :precision binary64
  (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))