Average Error: 58.0 → 1.1
Time: 18.6s
Precision: binary64
Cost: 65412
\[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
↓
\[\begin{array}{l} t_0 := e^{-x}\\ \mathbf{if}\;\frac{e^{x} - t_0}{e^{x} + t_0} \leq 2 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left({x}^{3}, -0.3333333333333333, 0.13333333333333333 \cdot {x}^{5}\right) + x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{e^{x}}{t_0 + e^{x}} - \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{x}, e^{x}, 1\right)}\\ \end{array} \]
(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (- (exp x) (exp (- x))) (+ (exp x) (exp (- x)))))
↓
(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (- x))))
   (if (<= (/ (- (exp x) t_0) (+ (exp x) t_0)) 2e-6)
     (+
      (fma (pow x 3.0) -0.3333333333333333 (* 0.13333333333333333 (pow x 5.0)))
      x)
     (- (/ (exp x) (+ t_0 (exp x))) (/ 1.0 (fma (exp x) (exp x) 1.0))))))
double code(double x) {
	return (exp(x) - exp(-x)) / (exp(x) + exp(-x));
}
↓
double code(double x) {
	double t_0 = exp(-x);
	double tmp;
	if (((exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0)) <= 2e-6) {
		tmp = fma(pow(x, 3.0), -0.3333333333333333, (0.13333333333333333 * pow(x, 5.0))) + x;
	} else {
		tmp = (exp(x) / (t_0 + exp(x))) - (1.0 / fma(exp(x), exp(x), 1.0));
	}
	return tmp;
}

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - exp(Float64(-x))) / Float64(exp(x) + exp(Float64(-x))))
end
↓
function code(x)
	t_0 = exp(Float64(-x))
	tmp = 0.0
	if (Float64(Float64(exp(x) - t_0) / Float64(exp(x) + t_0)) <= 2e-6)
		tmp = Float64(fma((x ^ 3.0), -0.3333333333333333, Float64(0.13333333333333333 * (x ^ 5.0))) + x);
	else
		tmp = Float64(Float64(exp(x) / Float64(t_0 + exp(x))) - Float64(1.0 / fma(exp(x), exp(x), 1.0)));
	end
	return tmp
end

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]
↓
code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2e-6], N[(N[(N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] * -0.3333333333333333 + N[(0.13333333333333333 * N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision], N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] / N[(t$95$0 + N[Exp[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(1.0 / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] * N[Exp[x], $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}
↓
\begin{array}{l}
t_0 := e^{-x}\\
\mathbf{if}\;\frac{e^{x} - t_0}{e^{x} + t_0} \leq 2 \cdot 10^{-6}:\\
\;\;\;\;\mathsf{fma}\left({x}^{3}, -0.3333333333333333, 0.13333333333333333 \cdot {x}^{5}\right) + x\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\frac{e^{x}}{t_0 + e^{x}} - \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{x}, e^{x}, 1\right)}\\


\end{array}

Error

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if (/.f64 (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))) (+.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x)))) < 1.99999999999999991e-6

    1. Initial program 58.6

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

    2. Taylor expanded in x around 0 0.4

      \[\leadsto \color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{5} + x\right)} \]

    3. Applied egg-rr0.4

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, -0.3333333333333333, 0.13333333333333333 \cdot {x}^{5}\right) + x} \]

    if 1.99999999999999991e-6 < (/.f64 (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))) (+.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))))

    1. Initial program 39.2

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

    2. Applied egg-rr20.2

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x}}{e^{x} + e^{-x}} - \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{x}, e^{x}, 1\right)}} \]

    3. Simplified20.2

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x}}{e^{-x} + e^{x}} - \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{x}, e^{x}, 1\right)}} \]
      Proof
  3. Recombined 2 regimes into one program.

Alternatives

Alternative 1
Error0.7
Cost52676
\[\begin{array}{l} t_0 := e^{-x}\\ t_1 := e^{x} + t_0\\ \mathbf{if}\;\frac{e^{x} - t_0}{t_1} \leq 1:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{-\mathsf{expm1}\left(-\left(x + x\right)\right)}{t_0}}{t_1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{e^{x}}{2} - \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{x}, e^{x}, 1\right)}\\ \end{array} \]
Alternative 2
Error1.0
Cost26308
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2.6:\\ \;\;\;\;\frac{e^{x}}{2} - \frac{1}{\mathsf{fma}\left(e^{x}, e^{x}, 1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{2 \cdot x + \left(\sqrt[3]{0.3333333333333333} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \sqrt[3]{0.1111111111111111}\right)\right)\right) + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)}{2 + \left(0.08333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\\ \end{array} \]
Alternative 3
Error1.8
Cost21248
\[\frac{2 \cdot x + \left(\sqrt[3]{0.3333333333333333} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \sqrt[3]{0.1111111111111111}\right)\right)\right) + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)}{2 + \left(0.08333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \cdot \left(x \cdot x\right)} \]
Alternative 4
Error1.8
Cost8320
\[\frac{2 \cdot x + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)}{2 + \left(0.08333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \cdot \left(x \cdot x\right)} \]
Alternative 5
Error1.9
Cost1600
\[\frac{2 \cdot x + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}{2 + \left(0.08333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \cdot \left(x \cdot x\right)} \]
Alternative 6
Error2.3
Cost576
\[\frac{x + x}{2 + x \cdot x} \]
Alternative 7
Error2.4
Cost64
\[x \]

Error

Reproduce

herbie shell --seed 2023010 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic tangent"
  :precision binary64
  (/ (- (exp x) (exp (- x))) (+ (exp x) (exp (- x)))))