Octave 3.8, oct_fill_randg

Average Error: 0.1 → 0.1

Time: 26.5s

Precision: binary64

Cost: 13632

Math

\[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

↓

\[\left(\frac{a + -0.3333333333333333}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(9, a, -3\right)}} \cdot rand + a\right) - 0.3333333333333333 \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (*
  (- a (/ 1.0 3.0))
  (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))

↓

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (-
  (+ (* (/ (+ a -0.3333333333333333) (sqrt (fma 9.0 a -3.0))) rand) a)
  0.3333333333333333))

C

double code(double a, double rand) {
	return (a - (1.0 / 3.0)) * (1.0 + ((1.0 / sqrt((9.0 * (a - (1.0 / 3.0))))) * rand));
}

↓

double code(double a, double rand) {
	return ((((a + -0.3333333333333333) / sqrt(fma(9.0, a, -3.0))) * rand) + a) - 0.3333333333333333;
}

Julia

function code(a, rand)
	return Float64(Float64(a - Float64(1.0 / 3.0)) * Float64(1.0 + Float64(Float64(1.0 / sqrt(Float64(9.0 * Float64(a - Float64(1.0 / 3.0))))) * rand)))
end

↓

function code(a, rand)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(a + -0.3333333333333333) / sqrt(fma(9.0, a, -3.0))) * rand) + a) - 0.3333333333333333)
end

Wolfram

code[a_, rand_] := N[(N[(a - N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(1.0 / N[Sqrt[N[(9.0 * N[(a - N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * rand), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[a_, rand_] := N[(N[(N[(N[(N[(a + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(9.0 * a + -3.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * rand), $MachinePrecision] + a), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 0.1

   \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

2. Taylor expanded in rand around 0 0.1

   \[\leadsto \color{blue}{\left(rand \cdot \left(\frac{a}{\sqrt{9 \cdot \left(a - 0.3333333333333333\right)}} - 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - 0.3333333333333333\right)}}\right) + a\right) - 0.3333333333333333} \]

3. Applied egg-rr 0.1

   \[\leadsto \left(\color{blue}{\frac{a + -0.3333333333333333}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(9, a, -3\right)}} \cdot rand} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.1
Cost	13632

\[\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot 3, 3, -3\right)}}\right) \]

Alternative 2
Error	0.1
Cost	13504

\[\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}\right) \]

Alternative 3
Error	12.2
Cost	7240

\[\begin{array}{l} t_0 := \frac{a \cdot rand}{\sqrt{9 \cdot a - 3}}\\ \mathbf{if}\;rand \leq -3 \cdot 10^{+39}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;rand \leq 5.7 \cdot 10^{+79}:\\ \;\;\;\;a - 0.3333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \]

Alternative 4
Error	12.2
Cost	7240

\[\begin{array}{l} t_0 := \frac{\left(a - 0.3333333333333333\right) \cdot rand}{\sqrt{9 \cdot a}}\\ \mathbf{if}\;rand \leq -3 \cdot 10^{+39}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;rand \leq 1.55 \cdot 10^{+79}:\\ \;\;\;\;a - 0.3333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \]

Alternative 5
Error	0.1
Cost	7232

\[\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a - 3}}\right) \]

Alternative 6
Error	0.8
Cost	7104

\[\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a}}\right) \]

Alternative 7
Error	18.7
Cost	192

\[a - 0.3333333333333333 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023010 
(FPCore (a rand)
  :name "Octave 3.8, oct_fill_randg"
  :precision binary64
  (* (- a (/ 1.0 3.0)) (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))