Cubic critical, wide range

Average Error: 52.7 → 0.2

Time: 15.2s

Precision: binary64

Cost: 7552

\[\left(\left(4.930380657631324 \cdot 10^{-32} < a \land a < 2.028240960365167 \cdot 10^{+31}\right) \land \left(4.930380657631324 \cdot 10^{-32} < b \land b < 2.028240960365167 \cdot 10^{+31}\right)\right) \land \left(4.930380657631324 \cdot 10^{-32} < c \land c < 2.028240960365167 \cdot 10^{+31}\right)\]

Math

\[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]

↓

\[\frac{\frac{c \cdot a}{-a}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3.0 a) c)))) (* 3.0 a)))

↓

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (/ (* c a) (- a)) (+ b (sqrt (+ (* b b) (* a (* c -3.0)))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
}

↓

double code(double a, double b, double c) {
	return ((c * a) / -a) / (b + sqrt(((b * b) + (a * (c * -3.0)))));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0d0 * a) * c)))) / (3.0d0 * a)
end function

↓

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = ((c * a) / -a) / (b + sqrt(((b * b) + (a * (c * (-3.0d0))))))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + Math.sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
}

↓

public static double code(double a, double b, double c) {
	return ((c * a) / -a) / (b + Math.sqrt(((b * b) + (a * (c * -3.0)))));
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-b + math.sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a)

↓

def code(a, b, c):
	return ((c * a) / -a) / (b + math.sqrt(((b * b) + (a * (c * -3.0)))))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(-b) + sqrt(Float64(Float64(b * b) - Float64(Float64(3.0 * a) * c)))) / Float64(3.0 * a))
end

↓

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(c * a) / Float64(-a)) / Float64(b + sqrt(Float64(Float64(b * b) + Float64(a * Float64(c * -3.0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
end

↓

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = ((c * a) / -a) / (b + sqrt(((b * b) + (a * (c * -3.0)))));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[((-b) + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(N[(3.0 * a), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(3.0 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[a_, b_, c_] := N[(N[(N[(c * a), $MachinePrecision] / (-a)), $MachinePrecision] / N[(b + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + N[(a * N[(c * -3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 52.7

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]

2. Simplified 52.7

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{b - \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}{a} \cdot -0.3333333333333333} \]
   Proof

   [Start] 52.7	\[ \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
   *-lft-identity [<=] 52.7	\[ \color{blue}{1 \cdot \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}} \]
   metadata-eval [<=] 52.7	\[ \color{blue}{\frac{-1}{-1}} \cdot \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
   times-frac [<=] 52.7	\[ \color{blue}{\frac{-1 \cdot \left(\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right)}{-1 \cdot \left(3 \cdot a\right)}} \]
   neg-mul-1 [<=] 52.7	\[ \frac{-1 \cdot \left(\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right)}{\color{blue}{-3 \cdot a}} \]
   distribute-rgt-neg-in [=>] 52.7	\[ \frac{-1 \cdot \left(\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right)}{\color{blue}{3 \cdot \left(-a\right)}} \]
   times-frac [=>] 52.7	\[ \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{-a}} \]
   *-commutative [=>] 52.7	\[ \color{blue}{\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{-a} \cdot \frac{-1}{3}} \]
   neg-mul-1 [=>] 52.7	\[ \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{\color{blue}{-1 \cdot a}} \cdot \frac{-1}{3} \]
   neg-sub0 [=>] 52.7	\[ \frac{\color{blue}{\left(0 - b\right)} + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{-1 \cdot a} \cdot \frac{-1}{3} \]
   associate-+l- [=>] 52.7	\[ \frac{\color{blue}{0 - \left(b - \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right)}}{-1 \cdot a} \cdot \frac{-1}{3} \]
   sub0-neg [=>] 52.7	\[ \frac{\color{blue}{-\left(b - \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right)}}{-1 \cdot a} \cdot \frac{-1}{3} \]
   neg-mul-1 [=>] 52.7	\[ \frac{\color{blue}{-1 \cdot \left(b - \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right)}}{-1 \cdot a} \cdot \frac{-1}{3} \]
   times-frac [=>] 52.7	\[ \color{blue}{\left(\frac{-1}{-1} \cdot \frac{b - \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{a}\right)} \cdot \frac{-1}{3} \]
   metadata-eval [=>] 52.7	\[ \left(\color{blue}{1} \cdot \frac{b - \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{a}\right) \cdot \frac{-1}{3} \]
   *-lft-identity [=>] 52.7	\[ \color{blue}{\frac{b - \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{a}} \cdot \frac{-1}{3} \]
   cancel-sign-sub-inv [=>] 52.7	\[ \frac{b - \sqrt{\color{blue}{b \cdot b + \left(-3 \cdot a\right) \cdot c}}}{a} \cdot \frac{-1}{3} \]
   +-commutative [=>] 52.7	\[ \frac{b - \sqrt{\color{blue}{\left(-3 \cdot a\right) \cdot c + b \cdot b}}}{a} \cdot \frac{-1}{3} \]
   *-commutative [=>] 52.7	\[ \frac{b - \sqrt{\color{blue}{c \cdot \left(-3 \cdot a\right)} + b \cdot b}}{a} \cdot \frac{-1}{3} \]
   distribute-lft-neg-in [=>] 52.7	\[ \frac{b - \sqrt{c \cdot \color{blue}{\left(\left(-3\right) \cdot a\right)} + b \cdot b}}{a} \cdot \frac{-1}{3} \]
   associate-*r* [=>] 52.7	\[ \frac{b - \sqrt{\color{blue}{\left(c \cdot \left(-3\right)\right) \cdot a} + b \cdot b}}{a} \cdot \frac{-1}{3} \]
   *-commutative [=>] 52.7	\[ \frac{b - \sqrt{\color{blue}{a \cdot \left(c \cdot \left(-3\right)\right)} + b \cdot b}}{a} \cdot \frac{-1}{3} \]
   fma-def [=>] 52.7	\[ \frac{b - \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot \left(-3\right), b \cdot b\right)}}}{a} \cdot \frac{-1}{3} \]
   metadata-eval [=>] 52.7	\[ \frac{b - \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot \color{blue}{-3}, b \cdot b\right)}}{a} \cdot \frac{-1}{3} \]
   metadata-eval [=>] 52.7	\[ \frac{b - \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}{a} \cdot \color{blue}{-0.3333333333333333} \]

3. Applied egg-rr 52.4

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{b \cdot b - \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}{\frac{1}{\frac{1}{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}}}}}{a} \cdot -0.3333333333333333 \]

4. Applied egg-rr 52.4

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(b \cdot b - \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}} \cdot \frac{1}{a}\right)\right)} \cdot -0.3333333333333333 \]

5. Simplified 0.6

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{3 \cdot \left(c \cdot a\right) + 0 \cdot \left(b \cdot b\right)}{a \cdot \left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)}} \cdot -0.3333333333333333 \]
   Proof

   [Start] 52.4	\[ \left(\left(b \cdot b - \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}} \cdot \frac{1}{a}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333 \]
   associate-*r/ [=>] 52.4	\[ \left(\left(b \cdot b - \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{\frac{1}{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}} \cdot 1}{a}}\right) \cdot -0.3333333333333333 \]
   *-rgt-identity [=>] 52.4	\[ \left(\left(b \cdot b - \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)\right) \cdot \frac{\color{blue}{\frac{1}{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}}}{a}\right) \cdot -0.3333333333333333 \]
   associate-/l/ [=>] 52.4	\[ \left(\left(b \cdot b - \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{a \cdot \left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)}}\right) \cdot -0.3333333333333333 \]
   associate-*r/ [=>] 52.4	\[ \color{blue}{\frac{\left(b \cdot b - \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)\right) \cdot 1}{a \cdot \left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)}} \cdot -0.3333333333333333 \]
   *-commutative [<=] 52.4	\[ \frac{\color{blue}{1 \cdot \left(b \cdot b - \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)\right)}}{a \cdot \left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)} \cdot -0.3333333333333333 \]
   *-lft-identity [=>] 52.4	\[ \frac{\color{blue}{b \cdot b - \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}{a \cdot \left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)} \cdot -0.3333333333333333 \]
   fma-udef [=>] 52.4	\[ \frac{b \cdot b - \color{blue}{\left(a \cdot \left(c \cdot -3\right) + b \cdot b\right)}}{a \cdot \left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)} \cdot -0.3333333333333333 \]
   associate--r+ [=>] 52.4	\[ \frac{\color{blue}{\left(b \cdot b - a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) - b \cdot b}}{a \cdot \left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)} \cdot -0.3333333333333333 \]
   unsub-neg [<=] 52.4	\[ \frac{\color{blue}{\left(b \cdot b - a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) + \left(-b \cdot b\right)}}{a \cdot \left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)} \cdot -0.3333333333333333 \]
   +-commutative [<=] 52.4	\[ \frac{\color{blue}{\left(-b \cdot b\right) + \left(b \cdot b - a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right)}}{a \cdot \left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)} \cdot -0.3333333333333333 \]
   associate-+r- [=>] 0.6	\[ \frac{\color{blue}{\left(\left(-b \cdot b\right) + b \cdot b\right) - a \cdot \left(c \cdot -3\right)}}{a \cdot \left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)} \cdot -0.3333333333333333 \]
   unsub-neg [<=] 0.6	\[ \frac{\color{blue}{\left(\left(-b \cdot b\right) + b \cdot b\right) + \left(-a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right)}}{a \cdot \left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)} \cdot -0.3333333333333333 \]
   +-commutative [<=] 0.6	\[ \frac{\color{blue}{\left(-a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) + \left(\left(-b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{a \cdot \left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)} \cdot -0.3333333333333333 \]
   associate-*r* [=>] 0.6	\[ \frac{\left(-\color{blue}{\left(a \cdot c\right) \cdot -3}\right) + \left(\left(-b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}{a \cdot \left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)} \cdot -0.3333333333333333 \]
   *-commutative [<=] 0.6	\[ \frac{\left(-\color{blue}{\left(c \cdot a\right)} \cdot -3\right) + \left(\left(-b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}{a \cdot \left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)} \cdot -0.3333333333333333 \]
   distribute-rgt-neg-in [=>] 0.6	\[ \frac{\color{blue}{\left(c \cdot a\right) \cdot \left(--3\right)} + \left(\left(-b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}{a \cdot \left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)} \cdot -0.3333333333333333 \]
   metadata-eval [=>] 0.6	\[ \frac{\left(c \cdot a\right) \cdot \color{blue}{3} + \left(\left(-b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}{a \cdot \left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)} \cdot -0.3333333333333333 \]
   *-commutative [<=] 0.6	\[ \frac{\color{blue}{3 \cdot \left(c \cdot a\right)} + \left(\left(-b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}{a \cdot \left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)} \cdot -0.3333333333333333 \]
   neg-mul-1 [=>] 0.6	\[ \frac{3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(\color{blue}{-1 \cdot \left(b \cdot b\right)} + b \cdot b\right)}{a \cdot \left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)} \cdot -0.3333333333333333 \]
   distribute-lft1-in [=>] 0.6	\[ \frac{3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \color{blue}{\left(-1 + 1\right) \cdot \left(b \cdot b\right)}}{a \cdot \left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)} \cdot -0.3333333333333333 \]
   metadata-eval [=>] 0.6	\[ \frac{3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \color{blue}{0} \cdot \left(b \cdot b\right)}{a \cdot \left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)} \cdot -0.3333333333333333 \]

6. Applied egg-rr 0.6

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.3333333333333333 \cdot \left(-c \cdot \left(a \cdot 3\right)\right)}{\left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \left(-a\right)}} \]

7. Simplified 0.2

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\left(c \cdot a\right) \cdot 1}{-a}}{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}} \]
   Proof

   [Start] 0.6	\[ \frac{-0.3333333333333333 \cdot \left(-c \cdot \left(a \cdot 3\right)\right)}{\left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \left(-a\right)} \]
   *-commutative [=>] 0.6	\[ \frac{-0.3333333333333333 \cdot \left(-c \cdot \left(a \cdot 3\right)\right)}{\color{blue}{\left(-a\right) \cdot \left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)}} \]
   associate-/r* [=>] 0.5	\[ \color{blue}{\frac{\frac{-0.3333333333333333 \cdot \left(-c \cdot \left(a \cdot 3\right)\right)}{-a}}{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}} \]
   *-commutative [=>] 0.5	\[ \frac{\frac{\color{blue}{\left(-c \cdot \left(a \cdot 3\right)\right) \cdot -0.3333333333333333}}{-a}}{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}} \]
   distribute-lft-neg-in [<=] 0.5	\[ \frac{\frac{\color{blue}{-\left(c \cdot \left(a \cdot 3\right)\right) \cdot -0.3333333333333333}}{-a}}{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}} \]
   distribute-rgt-neg-in [=>] 0.5	\[ \frac{\frac{\color{blue}{\left(c \cdot \left(a \cdot 3\right)\right) \cdot \left(--0.3333333333333333\right)}}{-a}}{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}} \]
   associate-*r* [=>] 0.4	\[ \frac{\frac{\color{blue}{\left(\left(c \cdot a\right) \cdot 3\right)} \cdot \left(--0.3333333333333333\right)}{-a}}{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}} \]
   metadata-eval [=>] 0.4	\[ \frac{\frac{\left(\left(c \cdot a\right) \cdot 3\right) \cdot \color{blue}{0.3333333333333333}}{-a}}{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}} \]
   associate-*l* [=>] 0.2	\[ \frac{\frac{\color{blue}{\left(c \cdot a\right) \cdot \left(3 \cdot 0.3333333333333333\right)}}{-a}}{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}} \]
   metadata-eval [=>] 0.2	\[ \frac{\frac{\left(c \cdot a\right) \cdot \color{blue}{1}}{-a}}{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}} \]

8. Applied egg-rr 0.2

   \[\leadsto \frac{\frac{\left(c \cdot a\right) \cdot 1}{-a}}{b + \sqrt{\color{blue}{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}}} \]

9. Final simplification 0.2

   \[\leadsto \frac{\frac{c \cdot a}{-a}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}} \]

Alternatives

Alternative 1
Error	2.9
Cost	1152

\[\frac{\frac{c \cdot a}{-a}}{-1.5 \cdot \frac{c \cdot a}{b} + b \cdot 2} \]

Alternative 2
Error	6.3
Cost	320

\[c \cdot \frac{-0.5}{b} \]

Alternative 3
Error	6.1
Cost	320

\[\frac{c \cdot -0.5}{b} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022356 
(FPCore (a b c)
  :name "Cubic critical, wide range"
  :precision binary64
  :pre (and (and (and (< 4.930380657631324e-32 a) (< a 2.028240960365167e+31)) (and (< 4.930380657631324e-32 b) (< b 2.028240960365167e+31))) (and (< 4.930380657631324e-32 c) (< c 2.028240960365167e+31)))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3.0 a) c)))) (* 3.0 a)))