Diagrams.Solve.Polynomial:cubForm from diagrams-solve-0.1, D

Average Error: 1.2 → 0.2

Time: 8.5s

Precision: binary64

Cost: 26692

\[ \begin{array}{c}[y, z] = \mathsf{sort}([y, z])\\ \end{array} \]

Math

\[\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right) \]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \cdot 27 \leq -5 \cdot 10^{+257}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{t} \cdot \left(0.05555555555555555 \cdot \frac{x}{z \cdot y}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{0.05555555555555555}{\frac{y \cdot \frac{z}{x}}{\sqrt{t}}}\right)\right)} + -1\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (* (/ 1.0 3.0) (acos (* (/ (* 3.0 (/ x (* y 27.0))) (* z 2.0)) (sqrt t)))))

↓

(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (if (<= (* y 27.0) -5e+257)
   (*
    0.3333333333333333
    (acos (* (sqrt t) (* 0.05555555555555555 (/ x (* z y))))))
   (+
    (exp
     (log1p
      (*
       0.3333333333333333
       (acos (/ 0.05555555555555555 (/ (* y (/ z x)) (sqrt t)))))))
    -1.0)))

C

double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (1.0 / 3.0) * acos((((3.0 * (x / (y * 27.0))) / (z * 2.0)) * sqrt(t)));
}

↓

double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if ((y * 27.0) <= -5e+257) {
		tmp = 0.3333333333333333 * acos((sqrt(t) * (0.05555555555555555 * (x / (z * y)))));
	} else {
		tmp = exp(log1p((0.3333333333333333 * acos((0.05555555555555555 / ((y * (z / x)) / sqrt(t))))))) + -1.0;
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (1.0 / 3.0) * Math.acos((((3.0 * (x / (y * 27.0))) / (z * 2.0)) * Math.sqrt(t)));
}

↓

public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if ((y * 27.0) <= -5e+257) {
		tmp = 0.3333333333333333 * Math.acos((Math.sqrt(t) * (0.05555555555555555 * (x / (z * y)))));
	} else {
		tmp = Math.exp(Math.log1p((0.3333333333333333 * Math.acos((0.05555555555555555 / ((y * (z / x)) / Math.sqrt(t))))))) + -1.0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x, y, z, t):
	return (1.0 / 3.0) * math.acos((((3.0 * (x / (y * 27.0))) / (z * 2.0)) * math.sqrt(t)))

↓

def code(x, y, z, t):
	tmp = 0
	if (y * 27.0) <= -5e+257:
		tmp = 0.3333333333333333 * math.acos((math.sqrt(t) * (0.05555555555555555 * (x / (z * y)))))
	else:
		tmp = math.exp(math.log1p((0.3333333333333333 * math.acos((0.05555555555555555 / ((y * (z / x)) / math.sqrt(t))))))) + -1.0
	return tmp

Julia

function code(x, y, z, t)
	return Float64(Float64(1.0 / 3.0) * acos(Float64(Float64(Float64(3.0 * Float64(x / Float64(y * 27.0))) / Float64(z * 2.0)) * sqrt(t))))
end

↓

function code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0
	if (Float64(y * 27.0) <= -5e+257)
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * acos(Float64(sqrt(t) * Float64(0.05555555555555555 * Float64(x / Float64(z * y))))));
	else
		tmp = Float64(exp(log1p(Float64(0.3333333333333333 * acos(Float64(0.05555555555555555 / Float64(Float64(y * Float64(z / x)) / sqrt(t))))))) + -1.0);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_, z_, t_] := N[(N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision] * N[ArcCos[N[(N[(N[(3.0 * N[(x / N[(y * 27.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(z * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[x_, y_, z_, t_] := If[LessEqual[N[(y * 27.0), $MachinePrecision], -5e+257], N[(0.3333333333333333 * N[ArcCos[N[(N[Sqrt[t], $MachinePrecision] * N[(0.05555555555555555 * N[(x / N[(z * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Exp[N[Log[1 + N[(0.3333333333333333 * N[ArcCos[N[(0.05555555555555555 / N[(N[(y * N[(z / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]]

Target

Original	1.2
Target	1.2
Herbie	0.2

\[\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{x}{27}}{y \cdot z} \cdot \frac{\sqrt{t}}{\frac{2}{3}}\right)}{3} \]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 y 27) < -5.00000000000000028e257

   1. Initial program 1.1

      \[\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right) \]

   2. Simplified 1.1

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\left(\frac{x}{y \cdot z} \cdot 0.05555555555555555\right) \cdot \sqrt{t}\right)} \]
      Proof

      [Start] 1.1	\[ \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right) \]
      metadata-eval [=>] 1.1	\[ \color{blue}{0.3333333333333333} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right) \]
      *-commutative [=>] 1.1	\[ 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{\frac{x}{y \cdot 27} \cdot 3}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right) \]
      associate-*l/ [=>] 1.1	\[ 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{\frac{x \cdot 3}{y \cdot 27}}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right) \]
      times-frac [=>] 1.0	\[ 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{\frac{x}{y} \cdot \frac{3}{27}}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right) \]
      times-frac [=>] 1.0	\[ 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\color{blue}{\left(\frac{\frac{x}{y}}{z} \cdot \frac{\frac{3}{27}}{2}\right)} \cdot \sqrt{t}\right) \]
      associate-/l/ [=>] 1.1	\[ 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\left(\color{blue}{\frac{x}{z \cdot y}} \cdot \frac{\frac{3}{27}}{2}\right) \cdot \sqrt{t}\right) \]
      *-commutative [=>] 1.1	\[ 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\left(\frac{x}{\color{blue}{y \cdot z}} \cdot \frac{\frac{3}{27}}{2}\right) \cdot \sqrt{t}\right) \]
      metadata-eval [=>] 1.1	\[ 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\left(\frac{x}{y \cdot z} \cdot \frac{\color{blue}{0.1111111111111111}}{2}\right) \cdot \sqrt{t}\right) \]
      metadata-eval [=>] 1.1	\[ 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\left(\frac{x}{y \cdot z} \cdot \color{blue}{0.05555555555555555}\right) \cdot \sqrt{t}\right) \]

   if -5.00000000000000028e257 < (*.f64 y 27)

   1. Initial program 1.2

      \[\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right) \]

   2. Simplified 1.2

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\left(\frac{x}{y \cdot z} \cdot 0.05555555555555555\right) \cdot \sqrt{t}\right)} \]
      Proof

      [Start] 1.2	\[ \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right) \]
      metadata-eval [=>] 1.2	\[ \color{blue}{0.3333333333333333} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right) \]
      *-commutative [=>] 1.2	\[ 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{\frac{x}{y \cdot 27} \cdot 3}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right) \]
      associate-*l/ [=>] 1.3	\[ 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{\frac{x \cdot 3}{y \cdot 27}}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right) \]
      times-frac [=>] 1.2	\[ 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{\frac{x}{y} \cdot \frac{3}{27}}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right) \]
      times-frac [=>] 1.2	\[ 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\color{blue}{\left(\frac{\frac{x}{y}}{z} \cdot \frac{\frac{3}{27}}{2}\right)} \cdot \sqrt{t}\right) \]
      associate-/l/ [=>] 1.2	\[ 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\left(\color{blue}{\frac{x}{z \cdot y}} \cdot \frac{\frac{3}{27}}{2}\right) \cdot \sqrt{t}\right) \]
      *-commutative [=>] 1.2	\[ 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\left(\frac{x}{\color{blue}{y \cdot z}} \cdot \frac{\frac{3}{27}}{2}\right) \cdot \sqrt{t}\right) \]
      metadata-eval [=>] 1.2	\[ 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\left(\frac{x}{y \cdot z} \cdot \frac{\color{blue}{0.1111111111111111}}{2}\right) \cdot \sqrt{t}\right) \]
      metadata-eval [=>] 1.2	\[ 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\left(\frac{x}{y \cdot z} \cdot \color{blue}{0.05555555555555555}\right) \cdot \sqrt{t}\right) \]

   3. Applied egg-rr 0.1

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{0.05555555555555555}{\frac{\frac{z}{x} \cdot y}{\sqrt{t}}}\right)\right)} - 1} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 0.2

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \cdot 27 \leq -5 \cdot 10^{+257}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{t} \cdot \left(0.05555555555555555 \cdot \frac{x}{z \cdot y}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{0.05555555555555555}{\frac{y \cdot \frac{z}{x}}{\sqrt{t}}}\right)\right)} + -1\\ \end{array} \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.3
Cost	26432

\[e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{0.05555555555555555}{\frac{\frac{z \cdot y}{x}}{\sqrt{t}}}\right)\right)} + -1 \]

Alternative 2
Error	1.2
Cost	13504

\[0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{t} \cdot \left(0.05555555555555555 \cdot \frac{\frac{x}{y}}{z}\right)\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022354 
(FPCore (x y z t)
  :name "Diagrams.Solve.Polynomial:cubForm  from diagrams-solve-0.1, D"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (/ (acos (* (/ (/ x 27.0) (* y z)) (/ (sqrt t) (/ 2.0 3.0)))) 3.0)

  (* (/ 1.0 3.0) (acos (* (/ (* 3.0 (/ x (* y 27.0))) (* z 2.0)) (sqrt t)))))