UniformSampleCone 2

Average Error: 0.4 → 0.4

Time: 18.6s

Precision: binary32

Cost: 29984

\[\left(\left(\left(\left(\left(-10000 \leq xi \land xi \leq 10000\right) \land \left(-10000 \leq yi \land yi \leq 10000\right)\right) \land \left(-10000 \leq zi \land zi \leq 10000\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

↓

\[\mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot maxCos\right), \sqrt{1 + \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(\sqrt[3]{{\left(2 \cdot \pi\right)}^{3} \cdot {uy}^{3}}\right) \cdot yi\right)\right) \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (+
   (*
    (*
     (cos (* (* uy 2.0) PI))
     (sqrt
      (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux)))))
    xi)
   (*
    (*
     (sin (* (* uy 2.0) PI))
     (sqrt
      (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux)))))
    yi))
  (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))

↓

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  ux
  (* (- 1.0 ux) (* zi maxCos))
  (*
   (sqrt (+ 1.0 (* (* (* ux maxCos) (* ux maxCos)) (+ ux -1.0))))
   (+
    (* (cos (* uy (* 2.0 PI))) xi)
    (* (sin (cbrt (* (pow (* 2.0 PI) 3.0) (pow uy 3.0)))) yi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (((cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - ((((1.0f - ux) * maxCos) * ux) * (((1.0f - ux) * maxCos) * ux))))) * xi) + ((sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - ((((1.0f - ux) * maxCos) * ux) * (((1.0f - ux) * maxCos) * ux))))) * yi)) + ((((1.0f - ux) * maxCos) * ux) * zi);
}

↓

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf(ux, ((1.0f - ux) * (zi * maxCos)), (sqrtf((1.0f + (((ux * maxCos) * (ux * maxCos)) * (ux + -1.0f)))) * ((cosf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * xi) + (sinf(cbrtf((powf((2.0f * ((float) M_PI)), 3.0f) * powf(uy, 3.0f)))) * yi))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux))))) * xi) + Float32(Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux))))) * yi)) + Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * zi))
end

↓

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(ux, Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(zi * maxCos)), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(ux * maxCos) * Float32(ux * maxCos)) * Float32(ux + Float32(-1.0))))) * Float32(Float32(cos(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * xi) + Float32(sin(cbrt(Float32((Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) ^ Float32(3.0)) * (uy ^ Float32(3.0))))) * yi))))
end

Derivation

1. Initial program 0.4

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Simplified 0.4

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(ux, \left(zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(1 - ux\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right)} \]
   Proof
   (fma.f32 ux (*.f32 (*.f32 zi maxCos) (-.f32 1 ux)) (*.f32 (sqrt.f32 (-.f32 1 (*.f32 (-.f32 1 ux) (*.f32 (*.f32 ux (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos)) (*.f32 ux maxCos))))) (+.f32 (*.f32 (cos.f32 (*.f32 uy (*.f32 2 (PI.f32)))) xi) (*.f32 (sin.f32 (*.f32 uy (*.f32 2 (PI.f32)))) yi)))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (fma.f32 ux (Rewrite<= associate-*r*_binary32 (*.f32 zi (*.f32 maxCos (-.f32 1 ux)))) (*.f32 (sqrt.f32 (-.f32 1 (*.f32 (-.f32 1 ux) (*.f32 (*.f32 ux (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos)) (*.f32 ux maxCos))))) (+.f32 (*.f32 (cos.f32 (*.f32 uy (*.f32 2 (PI.f32)))) xi) (*.f32 (sin.f32 (*.f32 uy (*.f32 2 (PI.f32)))) yi)))): 3 points increase in error, 2 points decrease in error
   (fma.f32 ux (*.f32 zi (Rewrite<= *-commutative_binary32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos))) (*.f32 (sqrt.f32 (-.f32 1 (*.f32 (-.f32 1 ux) (*.f32 (*.f32 ux (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos)) (*.f32 ux maxCos))))) (+.f32 (*.f32 (cos.f32 (*.f32 uy (*.f32 2 (PI.f32)))) xi) (*.f32 (sin.f32 (*.f32 uy (*.f32 2 (PI.f32)))) yi)))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (fma.f32 ux (Rewrite=> *-commutative_binary32 (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) zi)) (*.f32 (sqrt.f32 (-.f32 1 (*.f32 (-.f32 1 ux) (*.f32 (*.f32 ux (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos)) (*.f32 ux maxCos))))) (+.f32 (*.f32 (cos.f32 (*.f32 uy (*.f32 2 (PI.f32)))) xi) (*.f32 (sin.f32 (*.f32 uy (*.f32 2 (PI.f32)))) yi)))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (fma.f32 ux (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) zi) (*.f32 (sqrt.f32 (-.f32 1 (*.f32 (-.f32 1 ux) (*.f32 (Rewrite<= *-commutative_binary32 (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux)) (*.f32 ux maxCos))))) (+.f32 (*.f32 (cos.f32 (*.f32 uy (*.f32 2 (PI.f32)))) xi) (*.f32 (sin.f32 (*.f32 uy (*.f32 2 (PI.f32)))) yi)))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (fma.f32 ux (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) zi) (*.f32 (sqrt.f32 (-.f32 1 (*.f32 (-.f32 1 ux) (*.f32 (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux) (Rewrite<= *-commutative_binary32 (*.f32 maxCos ux)))))) (+.f32 (*.f32 (cos.f32 (*.f32 uy (*.f32 2 (PI.f32)))) xi) (*.f32 (sin.f32 (*.f32 uy (*.f32 2 (PI.f32)))) yi)))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (fma.f32 ux (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) zi) (*.f32 (sqrt.f32 (-.f32 1 (*.f32 (-.f32 1 ux) (Rewrite<= *-commutative_binary32 (*.f32 (*.f32 maxCos ux) (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux)))))) (+.f32 (*.f32 (cos.f32 (*.f32 uy (*.f32 2 (PI.f32)))) xi) (*.f32 (sin.f32 (*.f32 uy (*.f32 2 (PI.f32)))) yi)))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (fma.f32 ux (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) zi) (*.f32 (sqrt.f32 (-.f32 1 (Rewrite<= associate-*l*_binary32 (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) (*.f32 maxCos ux)) (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux))))) (+.f32 (*.f32 (cos.f32 (*.f32 uy (*.f32 2 (PI.f32)))) xi) (*.f32 (sin.f32 (*.f32 uy (*.f32 2 (PI.f32)))) yi)))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (fma.f32 ux (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) zi) (*.f32 (sqrt.f32 (-.f32 1 (*.f32 (Rewrite<= associate-*l*_binary32 (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux)) (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux)))) (+.f32 (*.f32 (cos.f32 (*.f32 uy (*.f32 2 (PI.f32)))) xi) (*.f32 (sin.f32 (*.f32 uy (*.f32 2 (PI.f32)))) yi)))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (fma.f32 ux (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) zi) (*.f32 (sqrt.f32 (-.f32 1 (Rewrite=> swap-sqr_binary32 (*.f32 (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos)) (*.f32 ux ux))))) (+.f32 (*.f32 (cos.f32 (*.f32 uy (*.f32 2 (PI.f32)))) xi) (*.f32 (sin.f32 (*.f32 uy (*.f32 2 (PI.f32)))) yi)))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (fma.f32 ux (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) zi) (*.f32 (sqrt.f32 (-.f32 1 (*.f32 (Rewrite=> associate-*l*_binary32 (*.f32 (-.f32 1 ux) (*.f32 maxCos (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos)))) (*.f32 ux ux)))) (+.f32 (*.f32 (cos.f32 (*.f32 uy (*.f32 2 (PI.f32)))) xi) (*.f32 (sin.f32 (*.f32 uy (*.f32 2 (PI.f32)))) yi)))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (fma.f32 ux (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) zi) (*.f32 (sqrt.f32 (-.f32 1 (Rewrite=> associate-*l*_binary32 (*.f32 (-.f32 1 ux) (*.f32 (*.f32 maxCos (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos)) (*.f32 ux ux)))))) (+.f32 (*.f32 (cos.f32 (*.f32 uy (*.f32 2 (PI.f32)))) xi) (*.f32 (sin.f32 (*.f32 uy (*.f32 2 (PI.f32)))) yi)))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (fma.f32 ux (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) zi) (*.f32 (sqrt.f32 (-.f32 1 (Rewrite<= associate-*l*_binary32 (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) (*.f32 maxCos (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos))) (*.f32 ux ux))))) (+.f32 (*.f32 (cos.f32 (*.f32 uy (*.f32 2 (PI.f32)))) xi) (*.f32 (sin.f32 (*.f32 uy (*.f32 2 (PI.f32)))) yi)))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (fma.f32 ux (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) zi) (*.f32 (sqrt.f32 (-.f32 1 (*.f32 (Rewrite<= associate-*l*_binary32 (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos))) (*.f32 ux ux)))) (+.f32 (*.f32 (cos.f32 (*.f32 uy (*.f32 2 (PI.f32)))) xi) (*.f32 (sin.f32 (*.f32 uy (*.f32 2 (PI.f32)))) yi)))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (fma.f32 ux (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) zi) (*.f32 (sqrt.f32 (-.f32 1 (Rewrite<= swap-sqr_binary32 (*.f32 (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux) (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux))))) (+.f32 (*.f32 (cos.f32 (*.f32 uy (*.f32 2 (PI.f32)))) xi) (*.f32 (sin.f32 (*.f32 uy (*.f32 2 (PI.f32)))) yi)))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (fma.f32 ux (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) zi) (*.f32 (sqrt.f32 (-.f32 1 (*.f32 (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux) (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux)))) (+.f32 (*.f32 (cos.f32 (Rewrite<= associate-*l*_binary32 (*.f32 (*.f32 uy 2) (PI.f32)))) xi) (*.f32 (sin.f32 (*.f32 uy (*.f32 2 (PI.f32)))) yi)))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (fma.f32 ux (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) zi) (*.f32 (sqrt.f32 (-.f32 1 (*.f32 (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux) (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux)))) (+.f32 (Rewrite<= *-commutative_binary32 (*.f32 xi (cos.f32 (*.f32 (*.f32 uy 2) (PI.f32))))) (*.f32 (sin.f32 (*.f32 uy (*.f32 2 (PI.f32)))) yi)))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (fma.f32 ux (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) zi) (*.f32 (sqrt.f32 (-.f32 1 (*.f32 (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux) (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux)))) (+.f32 (*.f32 xi (cos.f32 (*.f32 (*.f32 uy 2) (PI.f32)))) (*.f32 (sin.f32 (Rewrite<= associate-*l*_binary32 (*.f32 (*.f32 uy 2) (PI.f32)))) yi)))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (fma.f32 ux (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) zi) (*.f32 (sqrt.f32 (-.f32 1 (*.f32 (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux) (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux)))) (+.f32 (*.f32 xi (cos.f32 (*.f32 (*.f32 uy 2) (PI.f32)))) (Rewrite=> *-commutative_binary32 (*.f32 yi (sin.f32 (*.f32 (*.f32 uy 2) (PI.f32)))))))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (fma.f32 ux (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) zi) (Rewrite<= distribute-rgt-out_binary32 (+.f32 (*.f32 (*.f32 xi (cos.f32 (*.f32 (*.f32 uy 2) (PI.f32)))) (sqrt.f32 (-.f32 1 (*.f32 (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux) (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux))))) (*.f32 (*.f32 yi (sin.f32 (*.f32 (*.f32 uy 2) (PI.f32)))) (sqrt.f32 (-.f32 1 (*.f32 (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux) (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux)))))))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (fma.f32 ux (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) zi) (+.f32 (Rewrite<= associate-*r*_binary32 (*.f32 xi (*.f32 (cos.f32 (*.f32 (*.f32 uy 2) (PI.f32))) (sqrt.f32 (-.f32 1 (*.f32 (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux) (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux))))))) (*.f32 (*.f32 yi (sin.f32 (*.f32 (*.f32 uy 2) (PI.f32)))) (sqrt.f32 (-.f32 1 (*.f32 (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux) (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux))))))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (fma.f32 ux (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) zi) (+.f32 (Rewrite<= *-commutative_binary32 (*.f32 (*.f32 (cos.f32 (*.f32 (*.f32 uy 2) (PI.f32))) (sqrt.f32 (-.f32 1 (*.f32 (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux) (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux))))) xi)) (*.f32 (*.f32 yi (sin.f32 (*.f32 (*.f32 uy 2) (PI.f32)))) (sqrt.f32 (-.f32 1 (*.f32 (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux) (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux))))))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (fma.f32 ux (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) zi) (+.f32 (*.f32 (*.f32 (cos.f32 (*.f32 (*.f32 uy 2) (PI.f32))) (sqrt.f32 (-.f32 1 (*.f32 (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux) (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux))))) xi) (Rewrite<= associate-*r*_binary32 (*.f32 yi (*.f32 (sin.f32 (*.f32 (*.f32 uy 2) (PI.f32))) (sqrt.f32 (-.f32 1 (*.f32 (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux) (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux))))))))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (fma.f32 ux (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) zi) (+.f32 (*.f32 (*.f32 (cos.f32 (*.f32 (*.f32 uy 2) (PI.f32))) (sqrt.f32 (-.f32 1 (*.f32 (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux) (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux))))) xi) (Rewrite<= *-commutative_binary32 (*.f32 (*.f32 (sin.f32 (*.f32 (*.f32 uy 2) (PI.f32))) (sqrt.f32 (-.f32 1 (*.f32 (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux) (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux))))) yi)))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (Rewrite<= fma-def_binary32 (+.f32 (*.f32 ux (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) zi)) (+.f32 (*.f32 (*.f32 (cos.f32 (*.f32 (*.f32 uy 2) (PI.f32))) (sqrt.f32 (-.f32 1 (*.f32 (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux) (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux))))) xi) (*.f32 (*.f32 (sin.f32 (*.f32 (*.f32 uy 2) (PI.f32))) (sqrt.f32 (-.f32 1 (*.f32 (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux) (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux))))) yi)))): 2 points increase in error, 0 points decrease in error
   (+.f32 (Rewrite<= associate-*l*_binary32 (*.f32 (*.f32 ux (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos)) zi)) (+.f32 (*.f32 (*.f32 (cos.f32 (*.f32 (*.f32 uy 2) (PI.f32))) (sqrt.f32 (-.f32 1 (*.f32 (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux) (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux))))) xi) (*.f32 (*.f32 (sin.f32 (*.f32 (*.f32 uy 2) (PI.f32))) (sqrt.f32 (-.f32 1 (*.f32 (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux) (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux))))) yi))): 2 points increase in error, 3 points decrease in error
   (+.f32 (*.f32 (Rewrite<= *-commutative_binary32 (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux)) zi) (+.f32 (*.f32 (*.f32 (cos.f32 (*.f32 (*.f32 uy 2) (PI.f32))) (sqrt.f32 (-.f32 1 (*.f32 (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux) (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux))))) xi) (*.f32 (*.f32 (sin.f32 (*.f32 (*.f32 uy 2) (PI.f32))) (sqrt.f32 (-.f32 1 (*.f32 (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux) (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux))))) yi))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (Rewrite<= +-commutative_binary32 (+.f32 (+.f32 (*.f32 (*.f32 (cos.f32 (*.f32 (*.f32 uy 2) (PI.f32))) (sqrt.f32 (-.f32 1 (*.f32 (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux) (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux))))) xi) (*.f32 (*.f32 (sin.f32 (*.f32 (*.f32 uy 2) (PI.f32))) (sqrt.f32 (-.f32 1 (*.f32 (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux) (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux))))) yi)) (*.f32 (*.f32 (*.f32 (-.f32 1 ux) maxCos) ux) zi))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error

3. Applied egg-rr 0.3

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(1 - ux\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \color{blue}{\left(\sqrt[3]{{\left(2 \cdot \pi\right)}^{3} \cdot {uy}^{3}}\right)} \cdot yi\right)\right) \]

4. Taylor expanded in ux around 0 0.4

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(1 - ux\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(\sqrt[3]{{\left(2 \cdot \pi\right)}^{3} \cdot {uy}^{3}}\right) \cdot yi\right)\right) \]

5. Final simplification 0.4

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot maxCos\right), \sqrt{1 + \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(\sqrt[3]{{\left(2 \cdot \pi\right)}^{3} \cdot {uy}^{3}}\right) \cdot yi\right)\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.3
Cost	27360

\[\begin{array}{l} t_0 := \pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\\ t_1 := ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\\ t_2 := \sqrt{1 - t_1 \cdot t_1}\\ \mathsf{fma}\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right), ux \cdot zi, \mathsf{fma}\left(\cos t_0 \cdot t_2, xi, t_2 \cdot \left(yi \cdot \sin t_0\right)\right)\right) \end{array} \]

Alternative 2
Error	0.4
Cost	17760

\[\begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\\ \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\right) + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(yi + \left(yi \cdot -0.5\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) + zi \cdot \left(ux \cdot maxCos - ux \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \end{array} \]

Alternative 3
Error	0.4
Cost	17696

\[\begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\\ \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\right) + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(yi + \left(yi \cdot -0.5\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) + zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \end{array} \]

Alternative 4
Error	0.4
Cost	17312

\[\begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\\ zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \end{array} \]

Alternative 5
Error	0.4
Cost	17184

\[\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right)\right) + zi \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \]

Alternative 6
Error	3.3
Cost	17120

\[\mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot maxCos\right), \sqrt{1 + \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + yi \cdot \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

Alternative 7
Error	3.3
Cost	14560

\[\begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\\ zi \cdot \left(ux \cdot maxCos - ux \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(yi + -0.5 \cdot \left(yi \cdot \left(\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

Alternative 8
Error	3.3
Cost	14496

\[\begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\\ zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(yi + -0.5 \cdot \left(yi \cdot \left(\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

Alternative 9
Error	3.3
Cost	14112

\[\begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\\ zi \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\right) + \left(uy \cdot \pi\right) \cdot \left(2 \cdot yi\right)\right) \end{array} \]

Alternative 10
Error	13.0
Cost	14016

\[\mathsf{fma}\left(ux, \frac{zi \cdot maxCos}{ux + 1} \cdot \left(1 - ux \cdot ux\right), \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)}\right) \]

Alternative 11
Error	13.0
Cost	13696

\[\mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot maxCos\right), \sqrt{1 + \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right)\right) \]

Alternative 12
Error	13.7
Cost	13568

\[\mathsf{fma}\left(ux, zi \cdot maxCos, \sqrt{1 + \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right)\right) \]

Alternative 13
Error	16.0
Cost	7136

\[\mathsf{fma}\left(ux, zi \cdot maxCos, xi \cdot \sqrt{1 - \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)}\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022338 
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone 2"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (and (and (<= -10000.0 xi) (<= xi 10000.0)) (and (<= -10000.0 yi) (<= yi 10000.0))) (and (<= -10000.0 zi) (<= zi 10000.0))) (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (+ (+ (* (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) xi) (* (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) yi)) (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))