ENA, Section 1.4, Exercise 4a

Average Error: 30.6 → 0.4

Time: 16.0s

Precision: binary64

Cost: 13312

\[-1 \leq x \land x \leq 1\]

Math

\[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

↓

\[\mathsf{fma}\left(x \cdot 0.16666666666666666, x, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fma (* x 0.16666666666666666) x (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0))))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

↓

double code(double x) {
	return fma((x * 0.16666666666666666), x, (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0)));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

↓

function code(x)
	return fma(Float64(x * 0.16666666666666666), x, Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[x_] := N[(N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * x + N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Target

Original	30.6
Target	0.7
Herbie	0.4

\[0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

Derivation

1. Initial program 30.6

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 0.4

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]

3. Simplified 0.4

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \]
   Proof
   (fma.f64 -23/360 (pow.f64 x 4) (*.f64 x (*.f64 x 1/6))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (fma.f64 -23/360 (pow.f64 x 4) (Rewrite<= associate-*l*_binary64 (*.f64 (*.f64 x x) 1/6))): 28 points increase in error, 20 points decrease in error
   (fma.f64 -23/360 (pow.f64 x 4) (Rewrite<= *-commutative_binary64 (*.f64 1/6 (*.f64 x x)))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (fma.f64 -23/360 (pow.f64 x 4) (*.f64 1/6 (Rewrite<= unpow2_binary64 (pow.f64 x 2)))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (Rewrite<= fma-def_binary64 (+.f64 (*.f64 -23/360 (pow.f64 x 4)) (*.f64 1/6 (pow.f64 x 2)))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (Rewrite<= +-commutative_binary64 (+.f64 (*.f64 1/6 (pow.f64 x 2)) (*.f64 -23/360 (pow.f64 x 4)))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error

4. Applied egg-rr 0.4

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]

5. Applied egg-rr 0.4

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot 0.16666666666666666, x, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]

6. Final simplification 0.4

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot 0.16666666666666666, x, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.4
Cost	7040

\[-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \]

Alternative 2
Error	0.4
Cost	6976

\[x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, x \cdot x, 0.16666666666666666\right)\right) \]

Alternative 3
Error	0.4
Cost	704

\[\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot -0.06388888888888888\right)\right) \]

Alternative 4
Error	0.7
Cost	320

\[0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

Alternative 5
Error	0.7
Cost	320

\[x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022329 
(FPCore (x)
  :name "ENA, Section 1.4, Exercise 4a"
  :precision binary64
  :pre (and (<= -1.0 x) (<= x 1.0))

  :herbie-target
  (* 0.16666666666666666 (* x x))

  (/ (- x (sin x)) (tan x)))