Average Error: 58.1 → 0.8
Time: 18.3s
Precision: binary64
Cost: 20032
\[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
↓
\[\cos re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 - im\right)\right) \]
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (*
  (cos re)
  (+
   (* (pow im 3.0) -0.16666666666666666)
   (- (* (pow im 5.0) -0.008333333333333333) im))))
double code(double re, double im) {
	return (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
}
↓
double code(double re, double im) {
	return cos(re) * ((pow(im, 3.0) * -0.16666666666666666) + ((pow(im, 5.0) * -0.008333333333333333) - im));
}

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * cos(re)) * (exp((0.0d0 - im)) - exp(im))
end function
↓
real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = cos(re) * (((im ** 3.0d0) * (-0.16666666666666666d0)) + (((im ** 5.0d0) * (-0.008333333333333333d0)) - im))
end function

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.cos(re)) * (Math.exp((0.0 - im)) - Math.exp(im));
}
↓
public static double code(double re, double im) {
	return Math.cos(re) * ((Math.pow(im, 3.0) * -0.16666666666666666) + ((Math.pow(im, 5.0) * -0.008333333333333333) - im));
}

def code(re, im):
	return (0.5 * math.cos(re)) * (math.exp((0.0 - im)) - math.exp(im))
↓
def code(re, im):
	return math.cos(re) * ((math.pow(im, 3.0) * -0.16666666666666666) + ((math.pow(im, 5.0) * -0.008333333333333333) - im))

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * cos(re)) * Float64(exp(Float64(0.0 - im)) - exp(im)))
end
↓
function code(re, im)
	return Float64(cos(re) * Float64(Float64((im ^ 3.0) * -0.16666666666666666) + Float64(Float64((im ^ 5.0) * -0.008333333333333333) - im)))
end

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
end
↓
function tmp = code(re, im)
	tmp = cos(re) * (((im ^ 3.0) * -0.16666666666666666) + (((im ^ 5.0) * -0.008333333333333333) - im));
end

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[N[(0.0 - im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]
↓
code[re_, im_] := N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[im, 3.0], $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Power[im, 5.0], $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision] - im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)
↓
\cos re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 - im\right)\right)

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Target

Original58.1
Target0.2
Herbie0.8
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\cos re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \]

Derivation

  1. Initial program 58.1

    \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]

  2. Simplified58.1

    \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)} \]
    Proof
    (*.f64 (*.f64 1/2 (cos.f64 re)) (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
    (*.f64 (*.f64 1/2 (cos.f64 re)) (-.f64 (exp.f64 (Rewrite<= sub0-neg_binary64 (-.f64 0 im))) (exp.f64 im))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error

  3. Taylor expanded in im around 0 0.8

    \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\cos re \cdot im\right) + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\cos re \cdot {im}^{5}\right) + -0.16666666666666666 \cdot \left({im}^{3} \cdot \cos re\right)\right)} \]

  4. Simplified0.8

    \[\leadsto \color{blue}{\cos re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 - im\right)\right)} \]
    Proof
    (*.f64 (cos.f64 re) (+.f64 (*.f64 (pow.f64 im 3) -1/6) (-.f64 (*.f64 (pow.f64 im 5) -1/120) im))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
    (*.f64 (cos.f64 re) (+.f64 (Rewrite<= *-commutative_binary64 (*.f64 -1/6 (pow.f64 im 3))) (-.f64 (*.f64 (pow.f64 im 5) -1/120) im))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
    (*.f64 (cos.f64 re) (+.f64 (*.f64 -1/6 (pow.f64 im 3)) (Rewrite<= unsub-neg_binary64 (+.f64 (*.f64 (pow.f64 im 5) -1/120) (neg.f64 im))))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
    (Rewrite<= distribute-lft-out_binary64 (+.f64 (*.f64 (cos.f64 re) (*.f64 -1/6 (pow.f64 im 3))) (*.f64 (cos.f64 re) (+.f64 (*.f64 (pow.f64 im 5) -1/120) (neg.f64 im))))): 1 points increase in error, 1 points decrease in error
    (+.f64 (Rewrite<= *-commutative_binary64 (*.f64 (*.f64 -1/6 (pow.f64 im 3)) (cos.f64 re))) (*.f64 (cos.f64 re) (+.f64 (*.f64 (pow.f64 im 5) -1/120) (neg.f64 im)))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
    (+.f64 (Rewrite<= associate-*r*_binary64 (*.f64 -1/6 (*.f64 (pow.f64 im 3) (cos.f64 re)))) (*.f64 (cos.f64 re) (+.f64 (*.f64 (pow.f64 im 5) -1/120) (neg.f64 im)))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
    (+.f64 (*.f64 -1/6 (*.f64 (pow.f64 im 3) (cos.f64 re))) (Rewrite<= distribute-lft-out_binary64 (+.f64 (*.f64 (cos.f64 re) (*.f64 (pow.f64 im 5) -1/120)) (*.f64 (cos.f64 re) (neg.f64 im))))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
    (+.f64 (*.f64 -1/6 (*.f64 (pow.f64 im 3) (cos.f64 re))) (+.f64 (Rewrite<= associate-*l*_binary64 (*.f64 (*.f64 (cos.f64 re) (pow.f64 im 5)) -1/120)) (*.f64 (cos.f64 re) (neg.f64 im)))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
    (+.f64 (*.f64 -1/6 (*.f64 (pow.f64 im 3) (cos.f64 re))) (+.f64 (Rewrite<= *-commutative_binary64 (*.f64 -1/120 (*.f64 (cos.f64 re) (pow.f64 im 5)))) (*.f64 (cos.f64 re) (neg.f64 im)))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
    (+.f64 (*.f64 -1/6 (*.f64 (pow.f64 im 3) (cos.f64 re))) (+.f64 (*.f64 -1/120 (*.f64 (cos.f64 re) (pow.f64 im 5))) (Rewrite<= distribute-rgt-neg-in_binary64 (neg.f64 (*.f64 (cos.f64 re) im))))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
    (+.f64 (*.f64 -1/6 (*.f64 (pow.f64 im 3) (cos.f64 re))) (+.f64 (*.f64 -1/120 (*.f64 (cos.f64 re) (pow.f64 im 5))) (Rewrite<= mul-1-neg_binary64 (*.f64 -1 (*.f64 (cos.f64 re) im))))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
    (Rewrite<= associate-+l+_binary64 (+.f64 (+.f64 (*.f64 -1/6 (*.f64 (pow.f64 im 3) (cos.f64 re))) (*.f64 -1/120 (*.f64 (cos.f64 re) (pow.f64 im 5)))) (*.f64 -1 (*.f64 (cos.f64 re) im)))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
    (+.f64 (Rewrite<= +-commutative_binary64 (+.f64 (*.f64 -1/120 (*.f64 (cos.f64 re) (pow.f64 im 5))) (*.f64 -1/6 (*.f64 (pow.f64 im 3) (cos.f64 re))))) (*.f64 -1 (*.f64 (cos.f64 re) im))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
    (Rewrite<= +-commutative_binary64 (+.f64 (*.f64 -1 (*.f64 (cos.f64 re) im)) (+.f64 (*.f64 -1/120 (*.f64 (cos.f64 re) (pow.f64 im 5))) (*.f64 -1/6 (*.f64 (pow.f64 im 3) (cos.f64 re)))))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error

  5. Final simplification0.8

    \[\leadsto \cos re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 - im\right)\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Error0.9
Cost13312
\[\cos re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right) \]
Alternative 2
Error26.2
Cost6660
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\cos re \leq -4 \cdot 10^{-304}:\\ \;\;\;\;im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-im\\ \end{array} \]
Alternative 3
Error1.3
Cost6656
\[\cos re \cdot \left(-im\right) \]
Alternative 4
Error58.8
Cost64
\[im \]

Error

Reproduce

herbie shell --seed 2022325 
(FPCore (re im)
  :name "math.sin on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (cos re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))