math.sin on complex, imaginary part

Average Error: 57.9 → 0.7

Time: 15.8s

Precision: binary64

Cost: 26752

Math

\[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]

↓

\[\cos re \cdot \left(\left(\left({im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984 + {im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right) + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right) - im\right) \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))

↓

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (*
  (cos re)
  (-
   (+
    (+
     (* (pow im 7.0) -0.0001984126984126984)
     (* (pow im 3.0) -0.16666666666666666))
    (* (pow im 5.0) -0.008333333333333333))
   im)))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
}

↓

double code(double re, double im) {
	return cos(re) * ((((pow(im, 7.0) * -0.0001984126984126984) + (pow(im, 3.0) * -0.16666666666666666)) + (pow(im, 5.0) * -0.008333333333333333)) - im);
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * cos(re)) * (exp((0.0d0 - im)) - exp(im))
end function

↓

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = cos(re) * (((((im ** 7.0d0) * (-0.0001984126984126984d0)) + ((im ** 3.0d0) * (-0.16666666666666666d0))) + ((im ** 5.0d0) * (-0.008333333333333333d0))) - im)
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.cos(re)) * (Math.exp((0.0 - im)) - Math.exp(im));
}

↓

public static double code(double re, double im) {
	return Math.cos(re) * ((((Math.pow(im, 7.0) * -0.0001984126984126984) + (Math.pow(im, 3.0) * -0.16666666666666666)) + (Math.pow(im, 5.0) * -0.008333333333333333)) - im);
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.cos(re)) * (math.exp((0.0 - im)) - math.exp(im))

↓

def code(re, im):
	return math.cos(re) * ((((math.pow(im, 7.0) * -0.0001984126984126984) + (math.pow(im, 3.0) * -0.16666666666666666)) + (math.pow(im, 5.0) * -0.008333333333333333)) - im)

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * cos(re)) * Float64(exp(Float64(0.0 - im)) - exp(im)))
end

↓

function code(re, im)
	return Float64(cos(re) * Float64(Float64(Float64(Float64((im ^ 7.0) * -0.0001984126984126984) + Float64((im ^ 3.0) * -0.16666666666666666)) + Float64((im ^ 5.0) * -0.008333333333333333)) - im))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
end

↓

function tmp = code(re, im)
	tmp = cos(re) * (((((im ^ 7.0) * -0.0001984126984126984) + ((im ^ 3.0) * -0.16666666666666666)) + ((im ^ 5.0) * -0.008333333333333333)) - im);
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[N[(0.0 - im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[re_, im_] := N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(N[Power[im, 7.0], $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision] + N[(N[Power[im, 3.0], $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[im, 5.0], $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Target

Original	57.9
Target	0.2
Herbie	0.7

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\cos re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \]

Derivation

1. Initial program 57.9

   \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]

2. Taylor expanded in im around 0 0.7

   \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\cos re \cdot {im}^{3}\right) + \left(-1 \cdot \left(\cos re \cdot im\right) + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\cos re \cdot {im}^{5}\right) + -0.0001984126984126984 \cdot \left(\cos re \cdot {im}^{7}\right)\right)\right)} \]

3. Simplified 0.7

   \[\leadsto \color{blue}{\cos re \cdot \left(\left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 + \left({im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984 + {im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)\right) - im\right)} \]
   Proof
   (*.f64 (cos.f64 re) (-.f64 (+.f64 (*.f64 (pow.f64 im 5) -1/120) (+.f64 (*.f64 (pow.f64 im 7) -1/5040) (*.f64 (pow.f64 im 3) -1/6))) im)): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (*.f64 (cos.f64 re) (-.f64 (+.f64 (Rewrite<= *-commutative_binary64 (*.f64 -1/120 (pow.f64 im 5))) (+.f64 (*.f64 (pow.f64 im 7) -1/5040) (*.f64 (pow.f64 im 3) -1/6))) im)): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (Rewrite<= distribute-lft-out--_binary64 (-.f64 (*.f64 (cos.f64 re) (+.f64 (*.f64 -1/120 (pow.f64 im 5)) (+.f64 (*.f64 (pow.f64 im 7) -1/5040) (*.f64 (pow.f64 im 3) -1/6)))) (*.f64 (cos.f64 re) im))): 2 points increase in error, 1 points decrease in error
   (-.f64 (Rewrite<= distribute-lft-out_binary64 (+.f64 (*.f64 (cos.f64 re) (*.f64 -1/120 (pow.f64 im 5))) (*.f64 (cos.f64 re) (+.f64 (*.f64 (pow.f64 im 7) -1/5040) (*.f64 (pow.f64 im 3) -1/6))))) (*.f64 (cos.f64 re) im)): 0 points increase in error, 1 points decrease in error
   (-.f64 (+.f64 (Rewrite<= associate-*l*_binary64 (*.f64 (*.f64 (cos.f64 re) -1/120) (pow.f64 im 5))) (*.f64 (cos.f64 re) (+.f64 (*.f64 (pow.f64 im 7) -1/5040) (*.f64 (pow.f64 im 3) -1/6)))) (*.f64 (cos.f64 re) im)): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (-.f64 (+.f64 (*.f64 (Rewrite<= *-commutative_binary64 (*.f64 -1/120 (cos.f64 re))) (pow.f64 im 5)) (*.f64 (cos.f64 re) (+.f64 (*.f64 (pow.f64 im 7) -1/5040) (*.f64 (pow.f64 im 3) -1/6)))) (*.f64 (cos.f64 re) im)): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (-.f64 (+.f64 (Rewrite<= associate-*r*_binary64 (*.f64 -1/120 (*.f64 (cos.f64 re) (pow.f64 im 5)))) (*.f64 (cos.f64 re) (+.f64 (*.f64 (pow.f64 im 7) -1/5040) (*.f64 (pow.f64 im 3) -1/6)))) (*.f64 (cos.f64 re) im)): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (-.f64 (+.f64 (*.f64 -1/120 (*.f64 (cos.f64 re) (pow.f64 im 5))) (Rewrite<= distribute-lft-out_binary64 (+.f64 (*.f64 (cos.f64 re) (*.f64 (pow.f64 im 7) -1/5040)) (*.f64 (cos.f64 re) (*.f64 (pow.f64 im 3) -1/6))))) (*.f64 (cos.f64 re) im)): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (-.f64 (+.f64 (*.f64 -1/120 (*.f64 (cos.f64 re) (pow.f64 im 5))) (+.f64 (Rewrite<= associate-*l*_binary64 (*.f64 (*.f64 (cos.f64 re) (pow.f64 im 7)) -1/5040)) (*.f64 (cos.f64 re) (*.f64 (pow.f64 im 3) -1/6)))) (*.f64 (cos.f64 re) im)): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (-.f64 (+.f64 (*.f64 -1/120 (*.f64 (cos.f64 re) (pow.f64 im 5))) (+.f64 (Rewrite<= *-commutative_binary64 (*.f64 -1/5040 (*.f64 (cos.f64 re) (pow.f64 im 7)))) (*.f64 (cos.f64 re) (*.f64 (pow.f64 im 3) -1/6)))) (*.f64 (cos.f64 re) im)): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (-.f64 (+.f64 (*.f64 -1/120 (*.f64 (cos.f64 re) (pow.f64 im 5))) (+.f64 (*.f64 -1/5040 (*.f64 (cos.f64 re) (pow.f64 im 7))) (Rewrite<= associate-*l*_binary64 (*.f64 (*.f64 (cos.f64 re) (pow.f64 im 3)) -1/6)))) (*.f64 (cos.f64 re) im)): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (-.f64 (+.f64 (*.f64 -1/120 (*.f64 (cos.f64 re) (pow.f64 im 5))) (+.f64 (*.f64 -1/5040 (*.f64 (cos.f64 re) (pow.f64 im 7))) (Rewrite<= *-commutative_binary64 (*.f64 -1/6 (*.f64 (cos.f64 re) (pow.f64 im 3)))))) (*.f64 (cos.f64 re) im)): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (-.f64 (Rewrite<= associate-+l+_binary64 (+.f64 (+.f64 (*.f64 -1/120 (*.f64 (cos.f64 re) (pow.f64 im 5))) (*.f64 -1/5040 (*.f64 (cos.f64 re) (pow.f64 im 7)))) (*.f64 -1/6 (*.f64 (cos.f64 re) (pow.f64 im 3))))) (*.f64 (cos.f64 re) im)): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (-.f64 (Rewrite=> +-commutative_binary64 (+.f64 (*.f64 -1/6 (*.f64 (cos.f64 re) (pow.f64 im 3))) (+.f64 (*.f64 -1/120 (*.f64 (cos.f64 re) (pow.f64 im 5))) (*.f64 -1/5040 (*.f64 (cos.f64 re) (pow.f64 im 7)))))) (*.f64 (cos.f64 re) im)): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (Rewrite<= associate-+r-_binary64 (+.f64 (*.f64 -1/6 (*.f64 (cos.f64 re) (pow.f64 im 3))) (-.f64 (+.f64 (*.f64 -1/120 (*.f64 (cos.f64 re) (pow.f64 im 5))) (*.f64 -1/5040 (*.f64 (cos.f64 re) (pow.f64 im 7)))) (*.f64 (cos.f64 re) im)))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (+.f64 (*.f64 -1/6 (*.f64 (cos.f64 re) (pow.f64 im 3))) (Rewrite<= unsub-neg_binary64 (+.f64 (+.f64 (*.f64 -1/120 (*.f64 (cos.f64 re) (pow.f64 im 5))) (*.f64 -1/5040 (*.f64 (cos.f64 re) (pow.f64 im 7)))) (neg.f64 (*.f64 (cos.f64 re) im))))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (+.f64 (*.f64 -1/6 (*.f64 (cos.f64 re) (pow.f64 im 3))) (+.f64 (+.f64 (*.f64 -1/120 (*.f64 (cos.f64 re) (pow.f64 im 5))) (*.f64 -1/5040 (*.f64 (cos.f64 re) (pow.f64 im 7)))) (Rewrite<= mul-1-neg_binary64 (*.f64 -1 (*.f64 (cos.f64 re) im))))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (+.f64 (*.f64 -1/6 (*.f64 (cos.f64 re) (pow.f64 im 3))) (Rewrite<= +-commutative_binary64 (+.f64 (*.f64 -1 (*.f64 (cos.f64 re) im)) (+.f64 (*.f64 -1/120 (*.f64 (cos.f64 re) (pow.f64 im 5))) (*.f64 -1/5040 (*.f64 (cos.f64 re) (pow.f64 im 7))))))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error

4. Final simplification 0.7

   \[\leadsto \cos re \cdot \left(\left(\left({im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984 + {im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right) + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right) - im\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.7
Cost	26560

\[\cos re \cdot \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 - im\right) + \cos re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right) \]

Alternative 2
Error	0.7
Cost	20032

\[\cos re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 - im\right)\right) \]

Alternative 3
Error	0.9
Cost	13312

\[\cos re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right) \]

Alternative 4
Error	1.2
Cost	6656

\[im \cdot \left(-\cos re\right) \]

Alternative 5
Error	28.9
Cost	128

\[-im \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022306 
(FPCore (re im)
  :name "math.sin on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (cos re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))